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contraire (i), il pourra être choisi parmi une infinité d'autres. Nous ajou- 

 tons que ce tétraèdre n'est pas nécessairement un tétraèdre proprement 

 dit, mais qu'un nombre quelconque de ses faces peuvent coïncider. 



» Dans ce qui va suivre, nous supposerons un tétraèdre donné, et nous 

 considérerons les courbes appartenant à ce tétraèdre. Pour plus de briè- 

 veté, nous les désignerons par un symbole, la lettre V. 



» 2. On sait que les transformations linéaires qui laissent invariable un 

 tétraèdre sont échangeables entre elles. 



i> Conséquemment, les surfaces engendrées par des courbes V,, qui se 

 transforment en elles-mêmes par les mêmes transformations linéaires et qui 

 coiq^ent une autre courbe V,, appartenant au même tétraèdre, contien- 

 dront un nombre doublement infini de courbes V. Elles se transformeront 

 donc en elles-mêmes par un nombre doublement infini de transformations 

 linéaires appartenant au tétraèdre. Ces transformations permettent d'ame- 

 ner en général chaque point de la surface en chaque autre. Ces surfaces 

 sont celles dont nous allons nous occuper; nous les désignerons, de même 

 que les courbes, par la lettre V (2). 



» 3. On obtient les équations de ces surfaces de la manière suivante : 



» On peut former trois expressions des coordonnées, qui, par les trans- 

 formations linéaires appartenant au tétraèdre donné, ne se changent que 

 par une constante additive. Dans le cas d'un tétraèdre proprement dit, ces 

 expressions sont les logarithmes des quotients de trois des fonctions linéai- 

 res qui représentent les faces du tétraèdre par la quatrième. Dans les autres 

 cas, il faut remplacer les logarithmes en partie par des expressions algé- 

 briques. 



» Or les surfaces V sont représentées par les équations linéaires entre 

 ces expressions. 



» 4. Nous allons énumérer quelques-unes des courbes V et des siu'fa- 

 ces V, qui ont été étudiées sous d'autres points de vue. 



» Parmi les courbes V planes, on remarque surtout les paraboles et les 

 spirales logarithmiques : aussi un grand nombre des propriétés de ces cour- 

 bes ne sont que des cas particuliers du théorème général que nous voulons 

 démontrer. 



(i) La seule courbe gauche qui correspond à ce cas est la courbe du troisièuie oriire. 



(2) La surface développable d'une cubique gauclic, ([ui n'est pas une surface V, se trans- 

 forme aussi en elle-même par des transformations linéaires, permettant d'amener en jjéncra! 

 chacun de ses points en chaque autre. 



