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 a '" ^ i,est possible et a m racines. Si a appartient à l'exposant Ji =^- — ^—, 



comme ^ doit être multiple de n, soit kri, ou aura 



71) I ' 



A; 



ri 



p — i = 7171 = kmn, (I ou tn — 

 La congruence est donc 



jc* ^ a. 



» 6° La congruence jr'"F^ «, quand elle est possible, peut avoir luie ra- 

 cine comprise dans la période de a, jr^a" donnant a'"^^a, ou a""'~'^ i, 

 il faut avoir 



ma — I = «/3, 



ce qui a lieu seulement quand m et « sont premiers entre eux; en rempla- 

 çant a par a -l- nt, a"'^"' ne représenterait qu'une même racine ^rt". 



Il Remarque. — L'existence des racines primitives ou appartenant à l'ex- 

 posant p — I se prouve facilement au moyen de (II, 3°) et d'une propriété 

 de la foiiclion f {m), qui indique combien il y a de nombres inférieurs et 

 premiers à nt. Les propositionssuivantes le prouverontégalement; mais c'est 

 seulement pour la démonstration de la méthode de Jacobi et d'une autre 

 que j'en ai tirée (*) qu'elles sont données ici. 



» IIL Théorème. — Toute racine r de la congruence x'"^a, où m est 

 égal à n' , ou à un diviseur de n', le nombre a appartenant à l'exposant 



ji = - — ; — 5 aura une période de inn termes, si aucun des restes des puis- 

 sances 7, r^, r',..., r'""' ne se trouve dans la période de a. 



» Démonstration. — On n'a pas, en supposant i <^k <^ m, i^''^r', car il 

 en résulterait 



Les restes des produits r''a, r^a-,..., r'^a" sont différents les uns des autres; 

 il en est de même des restes des produits r'a, r'a-.,..., r'a". D'ailleurs, on 

 ne saurait avoir r'^a^^^r^a^, d'où l'on tirerait r''~'^a^~^, ce qui est 

 contraire à l'hypothèse. On voit donc que les restes de la siùfe 



r, ^^..., /'"-', r"' = n,ar, ar\ 



>) 



(*) Note sur la classi/îcalion des racines des congruences binômes. (Com/i/es rendus du 

 24 décembre 1866.) Cette nouvelle Note en est le complément. 



