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sont différents et en nombre iim. La nicine /• a donc une période 

 de nin termes. 



» Pour m = II', la période aurait nn' ternies, ou p — i termes. 



» IV. Théurème. — I>e nombre a apppartenant à l'exposant ii, et h, non 

 compris dans la période de rt, donnant h^^d'', j niininunn, lacongrneiice 

 x^^a sera résolue par x^ a'b", t < n, u<ij, t et u étant déterminés par 

 l'équation 



[a) ft + iu — I = m>. 



» Pour ii premier à y, les racines appartiendront à l'exposant ///. Poin- « 

 non premier à y, elles n'appartiendront pas à l'exposant iif. 



» Démonstration. — Pour la jjossibilité de l'équation (n), il faut que «, 

 f et i ne soient pas tous trois divisibles jiar lui même nomjjre d; or 



l - + -' 

 b^^a'^a'"^"' donnant b''^^a'' '' , on en conclurait que /n'est pas l'ex- 

 posant minimiun qui donne b^ congru à un terme de la période de a. 



» La résolution conduit â J couples /, u. Cela se voit de suite; poury 

 premier à w, on peut faire u ^= o, i, 2,..., J — i; à chaque valeur de le. 

 répond une valeur ôe t<^ n. Sijet u ont un plus grand commun diviseur d, 

 on a 



/' IU — I n 



u prendra- valeurs <C^J, et à chacune d'elles il répondra r/ valeurs de 

 t <n. 



» U est impossible d'avoir a' b"^ ^ n^' h"' \ il en résulterait A""""' ^ «''""', 

 u — u' étant inférieiu' à y. 



» Si u iivait un facteur commun avec J , par exemple pour u = -k, on 

 aurait 



{n'h^'Y^a'"^^', 



de sorte que la racine n'aurait ])as une période de^z tern)es. 



» Mais si u est premier h/, il est impossible d'avoir, pourf/<;y, 



{a'b")'' = a''; 

 il en résulterait 



iif/ devrait être multiple de y , ce cjui est impossible, car // est premier 

 kfetd<f. 



