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» Ainsi ces racines appartiennent à l'exposant^/?. 



» Remanjue. — Voici une autre solution particulière de l'équation 

 Jt -h iu — i ■=■ n\> , elle est indiquée, coainie on le verra, par la méthode de 

 Jacobi. 



» Posez 77/ =: / H- 775, 5 <^ J étaut pris de manière à rendre 777 premier 

 à /; j)iiis faites /77j'!! = /y + 1 et « t= kii — 7 < n. On en conclura 



fa + i[i - 1 = 77(A;/-. fiS). 



« l-a méthode de Jacobi suppose l'existence de racines primitives ou de 

 nombres appartenant à l'exposant p — i. Cette existence pourrait être dé- 

 montrée au moyen du théorème suivant, dont la démonstration sera indi- 

 quée sommairement. 



» V. Théorème. — Soit la congruence x'"^^a, le nombre a apparlenant à 



1 exposant n = — -, m étant égal a n ou a un diviseur de n . 



» 1" Si tous les diviseurs premiers de /77 divisent n, les 777 racines auront 

 une période de 7H77 termes. 



» 2" Mais 'A m a des diviseurs premiers ry, 7,. .. qui ne divisent pas 77, il y 

 aura seulement 7/7-! racines ayant une période ne 77777 termes. 



« Déitionslnition. — L'exactitude du théorème se reconnaît de suite 

 pour <y premier, puis pourty^,..., (f; x^'^a revient à {jc''f^a; on consi- 

 dère/*^ a, puis x'^jr, et ainsi de suite. 



» Quand on a m = 11', l'existence des racines appartenant à l'exposant 

 p — i est prouvée. 



» Remarque. — Quand on admet que l'on peut poser j:"'^fi^g"', 

 g étant une racine appartenant à l'exposant p — i , on en déduit 



Le nombre 1 + ;7< est premier à n, si pour une valeur de / (cpii peut prendre 



les valeurs o, i, 2,..., n' — i) on rend 1 -1- 77^ premier à n' , ce qui airive 



, ,7 — I r — I , I ... , , 



j)oui' Il ou 77 — •• valeurs lie /, en supposant (/, 7',. .. diviseurs (le 77 



mais non de 77, on a des racines primitives précisément en même nombre 

 que celui tlonné par le théorème précédent. 



>) VL Une racine primitive jt,', satisfaisant à la congruence x"'^a, sa 

 période pourra être présentée comme il siiil : 



