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1 = 1, 8, g-v 



a = g"', «g, «g%- 



a"-' = g"'-""', rt"-'g, n"-'e= n"-'""'- 



6 '■■•> ■■■ à 



«=8 



nn' 



» Tl résulte de là, puisque a est donné, que, si l'on savait trouver 

 l'indice d'un nombre b non compris dans la période de a, on pomrait 

 placer ce nombre dans une des colonnes, et des multiplications successives 

 para donneraient les n nombres contenus dans cette colonne. L'indice 

 de b fera connaître celui de h-, et l'on aura encore n termes; de même 

 pour b^,..., jusqu'à ce que l'on trouve /)^ compris dans la période de a. Il 

 est donc avantageux d'avoir b"'^a' {n' minimum) ('). 



» VII. Voici conmient Jacobi détermine l'indice de ô, nombre non com- 

 pris clans la période de a : il calcule b^^a', f minimum, ii! = ff . Comme 

 on a a-;s^"'=gff\ il en résulte b^^g^'^ ^e^ gff''+"f''' , d'où é = g/'<'+"') ; 



mais il faut que / + nt soit premier à /, sans quoi l'on n'aïuail pas 



l 

 i-'^^ «',y^ minimum, mais bien b'' ^ n"\ si l'on avait / + «< = r//^, et r/ di- 

 viseur de^! Jacobi prend doue, en posant <=ro, i, i,..., f— i, les valeurs 

 f =: ô, qui donnent i -\- nt = m premier à J, et il montre (avec trop peu 

 de développement peut-être) que le cboix de la valeur de m est arbitraire. 

 Jacobi opère comme il a été dit plus haut le placement de /;, //-, b^,..., 

 b^'' et des nombres qui s'en déduisent. 



Il Jacobi aurait pu donner immédiatement la valeur de g^'^', qui résulte 

 lie ce qui précède. Eu posant g-f' = h, ou a a^hf^ b^ h'". Comme m c\J 

 sont premiers entre eux, on peut faire ;?;|3 =fy •+- r. De là résulte 



b'^=hf<li = a<h ou h=a'"'~'i b^ = a''b'^, jS </ a = /■« — y < ?i. 



» Puisque h^g^\ on voit que h appartient à l'exposant nj. C'est ce 

 qui a été prouvé directement plus haut. 



» VIII. ^/j/j/ÙY/</o/i. — Soit pris, par exemple, p = 3r; la période de «= 2 

 est 2, 4, ^) '6, 32 SES I. Ainsi n = 5, n' = 6. Pour l'auxiliaire b = '5, on 



(*) C'est ce qui arrive le plus souvent, paire qu'il est prouvé que b-fi:^»' {/ minimum) 

 répond à«<p(/) nombres. Quand «' est pieniier /itf{/i')=zn[n'—i]=zjj — i — «, toutes 

 les valeurs de b donnent l>"'^a' («' minimum). 



C.R. 1870, l*' Semestre. (T. LXX, lN0 2/(.) I 65 



