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 faces que nous avons appelées les combes et les surfaces Y. Anjourd'lmi 

 nous nous |)ro])osons de donner quelques détails, qui soiU, il est vrai, des 

 conséquences ininiédiales de nos considérations, mais qui serviront peut- 

 être à les éclaii'cir davantage. 



» Dans noire Communication précédente nous avons supposé un tétraèdre 

 doimé et nous avons défini ce que nous avons appelé les correspondances 

 [cogrédienles ou conlragrédientes) appartenant à ce tétraèdre. Nous ne con- 

 sidérons ici que le cas d'un lélraèilre proprement dit, et les correspon- 

 dances qui coordonnent les points, les plans, les lignes droites. 



» Ces correspondances contiennent un grand nombre de correspon- 

 dances étudiées antérieurement ; nous allons en donner une courte énu- 

 mération : 



» I. Une correspondance cogrédiente entre les points et les points, ou en- 

 tre les plans et les plans, est une correspondance liomographique, laissant 

 invariable le tétraèdre donné. 



» Une correspondance contragrédiente entre les points et les points fait 

 correspondre à un plan une surface du troisième ordre avec quatre points 

 doubles dans les sommets du tétraèdre. 



» Par une correspondance contragrédiente entre les plans et les plans un 

 point se change dans une surface Steinérienne, ayant les quatre faces du 

 télraèdre pour plans tangents doubles. 



» Parmi les correspondances cogrédientes entre les points et les plans on 

 retrouve d'une part la correspondance, étudiée par Plûcker, sous le nom 

 de polarité par rapport à un tétraèdre, d'autre part une correspondance, 

 considérée par M. Cremona dans ses recherches sur les courbes du qua- 

 trième ordre avec un point de rebroussement [Comptes rendus, t. LIV). Dans 

 le dernier cas, le plan passe toujours par son point correspondant. 



M Une corresponilance contragrédiente entre les points et les plans est 

 équivalente à la polarité réciproque par rapport à une surface du deuxième 

 degré, conjuguée au tétraèdre donné. 



» Les correspondances cogrédientes ou contragrédientes entre les points 

 ou les plans et des lignes droites font correspondre les points ou les plans 

 aux droites d'un certain complexe du deuxième degré (i), engendré par 

 une droite qui est transposée par toutes les transformations linéaires appar- 

 tenant au tétraèdre donné. On peut définir ce complexe d'une autre ma- 



(i) De là on peut tirer une théorie des congruences ei des surfaces gauches appartenant 

 au complexe. 



