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 nière en disant que ses lignes déterminent, avec les faces du tétraèdre, 

 un rapport anharinonique donné. 



» M. Reye a étudié ce complexe dans la seconde partie de sa Géométrie 

 de siluntion (1868) (1). 11 considère entre autres une correspondance entre 

 les droites du complexe et les points, qu'il obtient en coordonnant à 

 chaque point l'intersection de ses plans polaires par rapport à deux sur- 

 faces du deuxième degré. Cette correspondance est identique avec la cor- 

 respouflaiice contragrédienle entre les points et les droites. 



» Parmi les correspondances cogrédientes, on doit remarquer le cas où 

 la droite passe par le point correspondant. Une correspondance de cette 

 sorte a été signalée par M. Chastes, dans ses Recherches sur le mouvement 

 iii/iniment petit d'un corps. M. Chaslesn'aeu à considérer qu'un cas spécial, 

 qui, dans nos recherches, correspond à un tétraèdre dont deux faces 

 coïncident. 



» Enfin un cas particulier de la correspondance contragrédiente entre 

 les plans et les droites a été considéré par MM. Chasles et Plûcker : la 

 correspondance entre les normales d'un système de surfaces du second de- 

 gré homofocales et leurs plans tangents. 



» 2. Revenons maintenant à notre théorème fondamental. 



» Pour les éléments a, b, que l'on coordonne, on pourra choisir des 

 points, des plans, des lignes droites en combinaison quelconque, et l'on 

 pourra énoncer le théorètne de manières différentes pour ces divers cas 

 particuliers. Par exemple, que l'on considère la correspondance contragré- 

 diente entre les points et les plans, on aura le théorème, que les courbes V 

 et les surfaces V sont leurs propres polaires réciproques par rapport à 

 chaque surface du second ordre, qui est conjuguée ;iu tétraèdre donné et 

 qui a un point et son plan tangent de commun avec elles. 



» On peut déduire de notre théorème un grand nombre d'autres, à l'aide 

 de la remarque suivante. Soit donnée une courbe V ou une surface V : 

 une courbe ou une surface quelconque qui possède avec elle un rapport 

 invariable par des transformations qui transforment la courbe ou la sur- 

 face V en elle-même, se transformera par ces transformations dans une 

 courbe ou une surface possédant le même rapport avec la courbe ou la 

 surfiice V. 



(i) Nous ajoutons que ce complexe a été rencontré déjà antérieurement par plusieurs 

 géomètres, et surtout par M. Ciiasles, qui, dans son Aperçu historique, a appelé expres- 

 sément l'attention des géomètres sur cet assemblage de droites. 



