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 la propriété suivante, dont la démonstration analytique est très-simple, et 

 qui a d'ailleurs été donnée par MM. August et Manuheim. 



» Les pieds des normales abaissées des points d'une droite sur la surface 

 forment une courbe d'ordre m^, K""-'" coupant la droite aux mêmes points 

 que la surface. Cette courbe est l'intersection de la surface proposée et 

 d'une autre surface de degré m. 



» Cela posé, parmi les plans passant par la droite, ceux qui seront tan- 

 gents à la surface des centres de courbure se distingueront par la pro- 

 priété de contenir deux normales infiniment voisines; ils seront, par con- 

 séquent, tangents à la courbe R'"-"", lieu des pieds des'normales rencontrant 

 la droite. Or, d'après des principes coniuis, le nombre des plans tangents 

 à une courbe K'"''", passant par une droite quelconque, est égal à 

 m^ [lin — 2). Ici, la droite rencontrant la courbe en m points, ce nombre 

 doit être diminué de a/«. On a donc 



(2) C = m- [lin — 2) — 2 m. 



n Pour déterminer les autres inconnues, nous établirons une corres- 

 pondance entre des plans passant par la droite, par la condition que deux 

 normales situées respectivement dans ces deux plans viennent se couper 

 sur la droite. Dans ce casa un plan, qui contient P normales, correspon- 

 dront P(N — i) autres plans. D'ailleurs, les deux plans correspondants 

 ne peuvent coïncider que dans les deux cas suivants : 1° Si deux normales 

 se coupant en un point de la droite déterminent un plan passant par la 

 droite : alors le plan des deux normales se correspondra à lui-même. 

 Soit X le nombre inconnu de ces plans. 2° Si l'un des plans passe par la 

 normale double, qu'on peut mener de chaque point où la surface des 

 centres rencontre la droite. Le nombre de ces plans est évidennuent égal à 

 l'ordre O de la surface des contres. Ou aura donc, d'après /e /)r(/i(/y;e de 

 correspondance, 



(3) 2P(N- i) = O + X. 



» Établissons maintenant une correspondance entre des points situés sur 

 la droite, par la condition que deux normales aux points correspondants 

 soient dans un même plan. On aura de même 



(4) 2(P- l)N=:C + X. 



» Les équations précédentes permettent de déterminer O et X, on en 

 déduit 



(5) 0-C = 2(N-P); 



