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 d'où 



(6) O = 277^ (m — I ) (a/ra — r). 



» La méthode précédente s'applique à tous les systèmes de rayons recti- 

 lignes considérés par M. Kummer. On voit que, pour déterminer l'ordre et 

 la classe de la surface enveloppe des rayons, il faudra connaîh'e pour tout 

 système de rayons N, P, X. Les deux premiers ont été nommés par 

 M. Rummer l'ordre et la classe du système de rayons rcctilignes (i). 



» Les résultats précédents se vérifient poiu- la surface des centres d'un 

 ellipsoïde qui est, comme on sait, du douzième ordre et de la quatrième 

 classe. Mais il sera bon de les contrôler dans le cas d'une surface du degré 

 jn, en cherchant directement les points à l'infini sur la surface des centres. 

 Ces points se divisent en deux séries, ceux qui proviennent des points à 

 l'infini sur la surface proposée, et ceux qui proviennent des points situés à 

 distance finie. Commençons par les premiers. 



» La surface proposée coupe le plan de l'infini suivant une courbe d'or- 

 dre m, le long de laquelle les normales à la surfiice sont toutes dans le plan 

 de 1 infini. Ces normales enveloppent une courbe remarquable d'ordre 

 '5m(m — I ) et de classe m-, qui fait partie de la surface des centres de 

 courbure (on voit donc que la sectioti par le plan de l'infini est une ligne de 

 courbure pour toute surface). Il y a, en outre, une deuxième courbe qui est 

 une courbe de rebroussement pour la surface des centres de courbure. C'est la 

 polaire réciproque^ par rapport au cercle de l'infini, de la section de la 

 surface proposée par le plan de l'infini. Cette courbe est du degré m [m — i) 

 et devra être comptée trois fois. 



)) Considérons maintenant les points situés à dislance finie sur la surface 

 proposée. Le centre de courbure ne pourra être rejeté à l'infini que si deux 

 normales infiniment voisines sont parallèles, c'est-à-dire si le point est un 

 point à indicatrice paral)olique de la surface proposée. Ces points jouissant 

 de cette propriété remarquable se trouvent, connue on sait, à l'intersection 

 de la surfîice proposée d'ordre m, et de sa Hessienne d'ordre l\{m — 2). 

 Nous avons donc à traiter la question suivante : « Trouver la section, par le 

 » plan de l'infini, de la surface gauche formée par les normales en tous les 

 )) points |iaraboliques delà surface. » La courbe de ces points coupe le plan 

 de l'infini en /im{m — 2) points. Les normales en ces points sont dans le plan 



(*) L'équation (5) .1 i'ic dcjà donnoe pour les layons rectilignes par M. Klein, (^f'oir une 

 Communication de M. Lie sur les complexes de Rege dans les Nouvelles tir l' Aradémir de 

 Gœtingue. 



