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 celle-ci, le •— serait donné par l'équation différentielle; on aurait 



d^r 



d'oi'i 



OU 



m 3R <<r _ dy_ B_ 



3x 3^ d.T ' dx 2 A 



3R B ;)R 



— - = o. 



dx 2 A <?/ 



» Cette dernière équation devrait donc être vérifiée en même temps que 



B 



2Â 



l'équalion R = o, ce qui n'a pas lieu en général, puisque R et — sont 



des fonctions indépendantes l'une de l'autre. 



M Appliquons ce résultat aux lignes de courbure. 



» En général, la courbe qu'on obtient sur la surface, en exprimant que les 

 directions des deux lignes de courbure coïncident, n'est pas une enveloppe 

 imaginaire des lignes de courbure (c'est le lieu de leurs points de rebrous- 

 sement) toutes les fois (fuil y aura une enveloppe imaginaire pour les lignes 

 de courbure, cette enveloppe se composera de lignes droites allant rencontrer 

 le cercle de l'infmi. 



» C'est le cas qui se présente pour les surfaces du second degré : l'enve- 

 loppe des lignes de courbure se compose des buit génératrices allant 

 couper le cercle de l'infini. De même pour les surfaces du quatrième ordre, 

 qui ont le cercle de l'infini pour ligne double, et que j'ai proposé d'appeler 

 cyclides. L'enveloppe des lignes de courbure se compose de seize droites 

 de la surface, etc. 



» Supposons qu'une surface algébrique ait une ligne droite allant 

 couper le cercle de l'infini. Alors les plans tangents aux différents points 

 de cette droite ne coïncident pas en général; mais les normales en tous les 

 points sont toujours dans un même jdan j^assant par la droite et tangent au 

 cercle de l'infini; elles envelo|)pent dans ce plan une coiu'be algébrique 

 suivant laquelle le |)lan a un contact triple avec la surface des centres de 

 courbure. 



» C'est ainsi que, dans le cas du second degré aux huit droites allant 

 couper le cercle de l'infini, correspondent les huit coniques singulières de 

 la surface des centres. 



M De même, si une surface du troisième degré contient une droite allant 

 passer par le cercle de l'infini, les normales en tous les points de cette 

 tlroite envelopperont une courbe plane du quatrième ordre et de la troi- 

 sième classe. 



