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GÉOMÉTRIE. — Corollaire au llu'orème de M. Croftoii. Note 

 (le M. R. Hoppe:, présentée par M. Serret. 



« Dans les Comptes rendus (t. LXV, p. 994)» on trouve le théorème sui- 

 vant, ingénieusement déduit au moyen de simples conclusions de probabi- 

 lités, par M. Crofton. 



» Soit un contour convexe de forme quelconque, dont la longueur totale 

 est L, et qui renferme un espace fl; si l'on appelle 5 l'angle des deux tangentes 

 menées d'un point extérieur [jc,j') à ce contour^ on aura l'intégrale 



//(& - sin5)dx df = {U - Tifi, 



pour toute la surface du plan extérieure au contour. 



» Plus tard, M. Serret a donné [Annales de l'Ecole Normale, t. VI, 

 p. 177) une démonstration de ce théorème, en effectuant l'intégration et 

 la sommation qui! faut suivre relativement à un polygone, d'où résulte une 

 conclusion facile à sa validité générale. On peut cependant observer que 

 le procédé de M. Serret met au jour trois résultats en même temps. Car 

 l'expression de l'intégrale étendue sur l'aire, qui appartient à deux points 

 fixes de contact, se compose de trois parties, dont la première est la somme 

 de polygones, la seconde la somme de secteurs circulaires, et la troisième la 

 somme de produits d'un logarithme et d'un polygone. Or on sait que ces trois 

 formes sont irréductibles l'une à l'autre, en sorte qu'aucini terme de l'une 

 des formes ne peut être composé de termes des autres. Par conséquent, 

 la somme de tous les polygones est =|L", la somme de tous les sec- 

 teurs = — nil, et le reste = o. En repassant du système de lignes droites 

 à une courbe continue, on parvient à trois formules séparées, semblables 

 à celle de M. Croflon. 



» En effet, soient a, j3, S les angles d'un triangle ABC = A = A° ayant 



deux points fixes A, B, et soit /■ le côté opposé à 5; on trouve, par un 



calcul direct, 



/(S — sin&) d^ = t + u+ i', 



fi 

 (i) < = — [i -)- cos(a — j3) — cosa — cos/3], 



(2) u = ''. n sina sin/3 — (a sin^,5 -f- |3 sin'a) cosS 



(3) V = r^ Tsin'a log ^^ -t- sin='/3 log iï^] , 



