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 « M. Le Verrier regrette qu'un incident l'ait empêché d'être présent 

 quand M. Fizeau a déposé le travail de M. Cornu, et qu'ainsi il n'ait pas 

 pu rendre hommage à l'important travail de photographie astronomique 

 exécuté par l'auteur à l'Observatoire. » 



ANALYSE. — Sur les équations différentielles linéaires du second ordre. 

 Note de M. Fijsch, présentée par M. Hermite. 



« Nous venons de voir (i) que, dans notre cas, une forme primaire, 

 comme je l'ai déhnie dans mon Mémoire, est d'un degré plus élevé que le 

 deuxième. Il suit alors du même Mémoire que le moindre degré N d'une 

 telle forme ne pourrait avoir qu'une des valeurs 4» 6, 8, io, 12. INous allons 

 faire voir que, dans notre cas, N est égal à 12; car, en soumettant une 

 forme binaire composée de/,, j\ et du degré N, où N a une des valeurs 

 que nous venons d'indiquer, aux conditions : i° d'être invariable par une 

 circulation de z autour du point z = 1, à des racines de l'unité comme fac- 

 teur près; 2 que ni la forme même, ni sa covariante hessienne ne con- 

 tienne des facteurs quadratiques (voir p. 114 et 116 de mon Mémoire), on 

 déduit qu'une telle forme ne peut être d'un degré moindre que le douzième et 

 qu'elle est composée semblablement à la forme (5). 



» Soit^une intégrale quelconque de l'équation (j) et soit l'équation 



algébrique à laquelle satisfait Ç ■ — ^ du n" 1 " 11 ' degré. D'après un théorème 



d'Abel (Journal de Crelle, t. VI, p. 77; voir aussi le Mémoire de M. Liouville 

 dans le Journal 'de /' Ecole Poly t., Cah. XXIII), logj-a la forme Alogw,«étant 

 une fonction rationnelle de z et de Cet A en notrecasun nombre rationnel. 

 Donc une certaine puissance de y, soit 7*, est une fonction rationnelle de 

 z et Ç, et satisfait par conséquent aussi, comme l'on sait, à une équation 

 dont le degré ne surpasse pas le nombre n. D'après le théorème du P. Pépin 

 cité ci-dessus, pour une certaine intégrale, n ne surpasserait pas le nombre (\. 

 Par conséquent, on pourrait, pour cette intégrale, trouver un nombre en- 

 tier a tel que y* satisfasse à une équation dont le degré ne surpasserait pas 

 le nombre 4? c'est à-dire que j ne pourrait acquérir par les chemins divers 

 de z plus de quatre valeurs dont les quotients ne soient pas racines de 

 l'unité. Le système réduit (voir mon Mémoire, p. 3) de cette équation, 

 n'ayant plus ainsi que quatre termes, offrirait une forme primaire, dont le 

 degré ne surpasserait pas le nombre ,'\. Or nous avons démontré ci-dessus 



(1) Comptes rendus, séance du 26 juin 1876, t. LXXXII, p. 1 4«)4- 



