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méthodes scientifiques. — Philosophie et enseignement des Mathématiques, 

 Sur la réduction des démonstrations à leur forme la />lus simple et la plus 

 directe; par M. de Saixt-Yf.xaxt. 



« M. Villarceau, dans la séance du 26 juin (i\ a cité Lamé comme ayant 

 remarqué que tout résultat ou théorème simple devait pouvoir se démon- 

 trer simplement. J'avais, en 1849, exprimé la même chose dans une Com- 

 munication faite à la Société Philomathique (2). J'y disais qu'en général 

 un théorème peut recevoir une infinité de démonstrations; mais qu'il n'a 

 qu'une raiso7i , un pourquoi, dont l'expression offrira généralement sa 

 démonstration la plus naturelle, la plus simple, ainsi que la plus facile à 

 retenir. 



» C'est ainsi qu'une foule de théorèmes de Géométrie élémentaire ou 

 élevée, de Trigonométrie, de Statique ou de Dynamique, démontrés naguère 

 par des circuits de raisonnements et de calculs, ont été reconnus n'être 

 que la conséquence de cette simple et évidente vérité, que la projection, 

 sur une droite, du chemin direct d'un point à un autre, est égale à la 

 somme des projections des parties de tout chemin polygonal menant aussi 

 du premier au second point, genre de considération susceptible d'être 

 étendu aux aires (3). Et l'on peut même, en regardant le chemin direct 

 comme une somme géométrique, exprimable par les mêmes signes que les 

 sommes algébriques , démontrer sans projections et en quelques lignes 

 beaucoup de théorèmes (4). 



» J'ajoutais qu'il y avait un moyen assez général de réduire ainsi à cette 

 forme In plus simple une démonstration donnée. Il consiste à substituer 

 d'abord aux lemmes ou aux théorèmes déjà connus qu'elle invoque les 

 propres démonstrations de ces théorèmes et de ces lemmes, et à faire 

 des substitutions semblables pour les propositions antérieures sur lesquelles 

 ceux-ci eux-mêmes s'appuient; puis à passer en revue et à rapprocher les 

 unes des autres les diverses parties de la démonstration totale ainsi con- 



(1) Comptes rendus, t. LXXXII, p. njlii). 



(2) Bulletin de cette Société, séance du 5 mai, ou V Institut, numéro 8o3, paru le a3 mai. 

 Ci) C'est par des projections d'aires infinitésimales que j'ai pu arriver géométriquement 



à beaucoup de formules relatives aux courbes non planes (Journal de t' Ée. Z'o/.jXXX" Cahier, 

 l845, ou Comptes rendus, i84|, '■ XIX, p. 547-) 



(4) M. Grassmann, de Stettin, avait donne l'idée de ces sommes et de ce calcul géomé- 

 tritjue (Der lineale Ausdehnungsichre, Leipzig, i844) avant ma Communication du i5 sep- 

 tembre l845 ( Comptes rendus, XXI. p. 620). 



