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suivant sa propre direction le côté DAP du segment rectangle BDPN 

 jusqu'à ce qu'il ait pris la situation AM, sa figure, devenue BAMN, aura 

 conservé la même superficie, puisque, dans son mouvement, il aura perdu 

 d'un côté et gagné de l'autre deux aires triangulaires dont la première, pat- 

 un glissement analogue, serait amenée à se superposer à la seconde. Fai- 

 sons maintenant glisser de la même manière le côté MN de la figure BAMN 

 jusqu'à ce qu'il arrive en LH; elle sera devenue aussi, sans changer 

 d'aire, le carré ABIIL. Donc ce carré est équivalent au segment BDPN. 

 La même cliose peut être dite de l'autre segment et de l'autre carré. 

 Donc, etc. 



» Je ne prétends pas que cette démonstration ne s'appuie que sur les 

 définitions et sur les axiomes, ni qu'il y ait toujours avantage à pousser les 

 substitutions jusque-là, ni qu'elle soit très-certainement exprimable en 

 moins de mots que toute autre. Toujours est-il qu'elle est plus patente, 

 plus intuitive, plus propre, je crois, à se graver dans l'esprit, pour n'en plus 

 sortir, que celle qui commence par une considération indirecte, comme est 

 celle des deux triangles scalènes HBC, ABF qui ne sont, dans la figure, les 

 parties ni les transformés de rien; enfin qu'elle se présente comme le vrai 

 pourquoi du théorème, ou au moins qu'elle s'en rapproche. Et, quoique la 

 Géométrie élémentaire, depuis longtemps amenée à une grande concision, 

 soit peut-être le sujet le moins propre à ma thèse, je crois pouvoir avancer 

 que, si les démonstrations des divers théorèmes et résultats dont se compose 

 chaque branche des Mathématiques étaient soumises à des transformations 

 de ce genre, de grandes simplifications se trouveraient révélées; et comme 

 rien n'empêcherait de grouper, ensuite, en lemmes, communs à plusieurs 

 démonstrations, une partie des raisonnements, un pareil travail conduirait 

 sans doute au système des démonstrations les plus brèves comme les plus 

 directes dans chaque branche. 



» Je disais aussi, en 1849, que cette méthode de réduction s'appliquera 

 très-bien, comme je l'ai souvent éprouvé, aux démonstrations qui se ba- 

 sent sur des théorèmes analytiques. En substituant à ces théorèmes, même 

 d'analyse élevée, leurs démonstrations, et en les traduisant géométrique- 

 ment suivant les cas, on voit, après un certain travail, comme en Géométrie 

 pure, s'opérer les réductions, et ressortir finalement une démonstration 

 dégagée des considérations d'Analyse qui ne lui étaient point essentielles. 



» Mais on sera conduit, j'en suis persuadé, si l'on entre dans une telle 

 voie de simplification, à éliminer même, et tout à fait, les longs raisonne- 

 ments, variés de tant de manières, mais toujours embarrassés et jamais 



