( 3io i 

 » Cette équation étant du troisième ordre, linéaire et à coefficients con- 

 stants, son intégrale dépend des racines de l'équation 



M5 2 + N5 + î- = o. 



J «o 



» Pour discuter plus simplement les divers cas qui se présentent, l'au- 

 teur introduit deux nouvelles variables xet y; en posant 



M 



=«*fë *^m 



et il prouve que : 



» i° Tous les régulateurs pour lesquels xy < i, lorsque leur équilibre 

 vient à être rompu, font des oscillations dont les amplitudes croissent in 

 définiment avec le temps, ce qui les rend impropres à régulariser le mou- 

 vement des moteurs. 



» 2° Tous les régulateurs pour lesquels on a 



aj> i, x- y- — 4 {x 3 -4-.r s ) ■+■ \Bxy — 27 < o 



font des oscillations dont les amplitudes diminuent avec le temps, et 

 leur position converge indéfiniment vers celle qui correspond à l'équi- 

 libre. 



» 3° Tous les régulateurs pour lesquels 



x 2 y 2 — 4(-*' :t +JT ! J + ^ X J — 27 > o 



ne font point d'oscillations, mais se meuvent constamment dans le même 

 sens en s'approchant indéfiniment de la position d'équilibre entre la force 

 motrice et la nouvelle valeur de la résistance. 



» Pour représenter plus clairement ces résultats principaux, l'auteur 

 construit la courbe donnée par l'équation 



x*y- — l\{x % + 7 1 ) -+- 1837- — 2 7 = °> 



que l'on désignera dans la suite par (A) et l'hyperbole équilatère ayant 

 pour équation xy = 1. L'espace compris entre les directions positives des 

 axes OX el OY se trouve partagé par ces deux courbes en trois régions, 

 dont la première, celle qui est comprise entre l'hyperbole et les axes, con- 

 tient les points auxquels correspondent les régulateurs à mouvement 

 périodique et aux amplitudes croissant avec le temps; la seconde, entre l'hy- 

 perbole et la courbe A, correspond aux régulateurs à mouvement pério- 

 dique et à amplitudes décroissantes; la troisième, limitée par la courbe A, 

 correspond aux régulateurs qui, en sortant de leur état d'équilibre, pren- 

 nent UII mouvement dirigé constamment dans le même sens. Si l'on cal- 



