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 traiter cette question, si elle n'est pas déjà connue. Elle dépendra aussi 

 d'une autre question, dans laquelle une courbe sera encore remplacée par 

 nu point. De sorte qu'on arrive ainsi à une dernière question où n'entrent 

 plus que des points au lieu de courbes, question à laquelle on applique 

 encore le Principe de correspondance, et pour laquelle on peut aussi re- 

 courir à la méthode analytique des coordonnées, puisqu'il n'y entre au- 

 cune courbe, et dont on aperçoit même quelquefois immédiatement la 

 solution. Mais il n'en faut pas moins pour remonter de ce cas très-parti- 

 culier à la question proposée, l'emploi du Principe de correspondance. 



» Il est certains cas où la question dont dépend le second nombre à 

 déterminer, celui de la première série des points correspondants, est la 

 même que la proposée, mais dans laquelle une courbe est remplacée par 

 un point; et l'on arrive ainsi à la question proposée, relative à des points 

 seuls au lieu de courbes, et l'on y applique le Principe de correspondance. 



» Les ibéorèmes qui vont suivre correspondent, dans le même ordre, 

 aux théorèmes relatifs à des couples de segments qui ont un produit con- 

 stant (Comptes rendus,, t. LXXXTI, p. i3o,9 et 1 4G3 ). Je donnerai pour 

 chacun, comme exemples, les solutions multiples que la question com- 

 portera. 



» I. Le lieu d'un point x d'où ion peut mener à deux courbes U"' , U n " 

 deux tangentes x6,\6' faisant en longueur une somme constante (xQ -+- xô' = X), 

 est une courbe de l'ordre i (vol n" + m"n' -+- n'n"). 



2.(111' n" -t- m" ri -+- 2«' 'ri '). 



,r, ri (2 m" 4- 2Ti") u 

 u. n" \ ■?, ru' 4- 2 ri) x 



C'est-à-dire : D'un point x de L on mène à U"' n' tangentes; chacune d'elles donne lieu à 

 IW-+- a/?") tangentes ')' u égales à X — .vB (*), ce qui fait n' {->.m" 4- in") points u. 

 De même, à un point u correspondent n" \im' -I- in') points x. Donc 



1 [m' n" -+- m" n' -+- Zn' n") 

 coïncidences de x et n. 



» Il y a an' ri" solutions étrangères dues au point x de L situé à l'infini, 

 parce qu'alors, chaque tangente xô étant infinie, il y a ri" tangentes de U"' 

 passant par ce même point x, sur chacune desquelles on prend deux seg- 

 ments r j' ri — X — &x, infinies, ayant donc chacune ses deux extrémités u 

 coïncidant avec x, ce qui fait deux solutions étrangères ; donc in" à rai- 

 son des n" tangentes de U"", et 0,11' n" à raison des ri tangentes xd de U"'. 

 Il reste 2 (rri n" 4- rri'ri 4- n'n"). Donc, etc. 



* Complet rendus, t. LXXXI, séance du i) août 187$, p. 254- 



