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» La question actuelle est une de celles où la correspondance sur une 

 courbe conduit à la même question, mais dans laquelle une courbe est 

 remplacée par un point. Faisant la correspondance sur U" , on pose 



0, x,n"2iri 0, 



2 (ni" -+- n")ii 



2 [m! n" -+- m" /i' -+- n' n"). 



2 III 



C'est-à-dire : La tangente de U"' en un point S rencontre L en x d'où l'on mène n" tan- 

 gentes xf)', pour chacune desquelles on décrit du point x un cercle de rayon (X — xB'), 

 qui coupe U"' en im' points 9,; ce qui fait a//" m' points 9,. Un point 9, étant pris, le 

 lieu d'un point x d'où l'on mène à U"" une tangente x 9' qui fasse avec la distance de. ce 

 point au point L une longueur \ est une courbe de l'ordre 2 (m + n" ) ; il y a donc, sur 

 L, 2 (/?/" + «") points a-, d'où l'on mène à U"' i(m" -\- n")n' tangentes x9; ce qui fait 

 7. (m' n" -j- m" n' -h n' n") coïncidences de 9 et 9,. La courbe cherchée est donc de cet ordre. 



» Quant au théorème que nous venons d'admettre, sa démonstration 

 est fort simple : 



0', x, 2 m", 0\ 

 0\ , 2 n", 0' 



C'est-à-dire: La tangente en 9' de U"" coupe L en x; le cercle décrit du point x, d'un 

 rayon égal à [\ —*?,), coupe U"" en deux points 9',. Un point &', étant pris, il y a sur L 

 deux points x tels, que x6', + x6 { = 1, et d'où l'on mène à U"" in" tangentes .c9', . Doue 

 2 (m" + n"} coïncidences de 9' et 0\ . Donc, etc. 



» On voit qu'on a remplacé successivement les deux courbes par deux 

 points. Le cas des deux points se résout par la correspondance sur une 

 droite, comme nous l'avons fait en premier lieu pour les deux courbes U"' 

 U" , il implique de même une solution étrangère. 



» IL De chaque point d'une courbe U"' on mène les tangentes 00' d'une 

 courbe U"", et ton prend sur la tangente du point deux segments x faisant 

 avec chaque tangente 05' une longueur constante (Ôx + 00' = 1) : le lieu du 

 point x est une courbe de l'ordre t. (m' m" ■+- m' n" + n' n") . 



x, n n" 2 u 



u, i(m" +- n"),n'[\] x 



0, Ox, {2111" -h an") m' 0, 



0,, n" (2111' -+- 211') 



2(m' m" -+- m' n" -+- n'n"), 



2 m m -+- 1 m n" 4- n' n" ) . 



» Il y a 2 ni n" solutions étrangères dues aux ni points de U'" situés à 

 l'infini. Il reste 2(111' m" + m' n" -h n'n"). 



» Lorsque U"" est un point, m" — o, n" = 1 ; la courbe est d'ordre 

 2 (ni -t- n'). 



» 111. On mène d'un point x les tangentes \0, xO' de deux couibesU", W", 



