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 point donné, des contacts du troisième ordre. C'e.-.t, comme on voit, un 

 cas particulier du précédent. 



» S et S' ont les mêmes caractéristiques : p. = v = I. 



» Désignant par N(S, K) le nombre des coniques d'un système S, qui 

 satisfont à une condition K, on aurait, si le théorème s'appliquait ici, 



N(S,K) = N(S',K) = a-f-|3. 

 Or, on trouve aisément 



N(S,K) = /„ N(S',R) = 3; 



donc le théorème ne s'applique pas au cas actuel. 



» Ce fait est dû à une circonstance dont on n'a pas jusqu'à présent tenu 

 un compte suffisant. Les coniques d'un système peuvent présenter trois 

 modes de dégénérescence : i° le point avec deux droites passant en ce 

 point; 2° la droite avec deux points situés sur cette droite; 3° la droite 

 avec un seul point situé sur cette droite. Les deux premiers modes sont 

 corrélatifs l'un de l'autre, le troisième est corrélatif de lui-même. C'est de 

 ce troisième mode qu'on n'a pas suffisamment tenu compte, et c'est parce 

 qu'il se présente dans le système S' que le théorème ne s'applique pas à 

 l'exemple précité. 



» Dans le cas le plus général, le nombre des coniques d'un système, qui 

 satisfont à une condition, est d'une forme bien plus complexe que dans le 

 théorème ci-dessus. L'énoncé des résultats que j'ai obtenus à ce sujet ne 

 saurait trouver place dans cette Note, et je me contenterai de citer un 

 nouvel exemple qui puisse donner une idée de ces résultats. 



» Je désigne par L une condition analogue à celle qui a été précédem- 

 ment considérée; elle consistera en ce que la m iime puissance du segment 

 intercepté par la conique sur une droite soit dans un rapport donné avec 

 la n'' m ° puissance du sinus de l'angle sous lequel cette conique est vue d'un 

 point. Les nombres m, n seront entiers et positifs. Je considère, d'autre 

 part, le système - formé par les coniques ayant des contacts du quatrième 

 ordre avec la courbe bien connue dont l'équation en coordonnées homo- 

 gènes est 



p et (/ étant des entiers positifs et premiers entre eux. Les caractéristiques 

 île 2i sont 



p. = v = 2(/;-Wy). 



» En combinant la condition h et le système 1 et supposant p < q, on 



