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trouve 



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2 ° Si ?<£</!' N(2,L) = 2 (m + n)( / ;4- aÇ ); 



3°Si^>% N(2,L) = 2 (h4-2 7h)(/>H-?). 



» Si, au contraire, on combinait la condition L avec un système A ne 

 contenant pas le troisième mode de dégénérescence, le théorème précité 

 s'appliquerait, et l'on aurait 



N(A,L) = 2 (mp -+- nv). , 



Si l'on faisait, à tort, l'application de cette dernière formule au système 2, 

 on trouverait, pour N(2, L), le nombre 4(" 2 + n ){p + 7)> ,H ul ne s'ac- 

 corde avec aucun des précédents. » 



analyse. — Théorie nouvelle des nombres de Bernoulli el d'Euler; 



par M. E. Lucas. 



« 1 . Si l'on fait 



/(■* ■+■ -/(■*) = A «" + A, x"-' + . . . 4- A„, 

 S #J = i" + 2." ■+■ 3" + .. . + (.r - i)", 



on obtient, en remplaçant successivement oc par i, a, 3, ... (.r — i) dans la 

 première équation, et en ajoutant, la formule symbolique 



(0 /(*)-/fo=/(s + o-y(s), 



dans laquelle on remplacera, après le développement du second membre, 

 les exposants de S par des indices, et S par x — i . 

 » 2. On peut poser, symboliquement, la formule 



(2) nS„_ ( = (x + B)»-B», 



dans laquelle on remplacera, après le développement du second membre, 

 les exposants de B par des indices, et B par /. Les coefficients B repré- 

 sentent, avec une légère modification de l'indice, les nombres de Ber- 

 noulli. On voit d'ailleurs immédiatement, au moyen de la formule (i), 

 qu'ils ne varient pas lorsque l'on augmente l'indice de S d'une unité. 



» 3. Si, dans la formule (a), on remplace x par oc -+- i, on obtient 



