( 54o ) 

 l'identité 



(3) n x"~ { = (x 4- 13 H- i )" — (x -+- B)", 



et, par suite, plus généralement, l'identité 



(4) f'ipc) =/(* + B + i) -/(as + B), 



dans laquelle _/ désigne une fonction quelconque. En faisant successive- 

 ment x égal à o, ±i, ±a, ±4-, ... dans la formule (3), on retrouve, 

 sans exception, toutes les relations connues servant au calcul des nombres 

 deBernoulli. En remplaçant dans l'équation (4) la fonction/par chacune 

 des fonctions dont la différence est simple, comme la factorielle, l'expo- 

 nentielle, le sinus, etc., on trouve toutes les formules dont le développe- 

 ment contient les nombres de Bernoulli, et beaucoup d'autres formules 

 nouvelles. 



» 4. En désignant par A r la différence d'une fonction pour l'accroisse- 

 ment de x égal à l'unité, la relation (4) peut s'écrire, par l'introduction 

 d'une autre variable, sous la forme 



%^=A,/(* + B,/.., 

 et, en appliquant cette formule à la fonction k x J{x,y), on a de même 



^l = A;y(^B )r + B'), 



et encore 



» Dans le développement symbolique du second membre, on ne doit pas 

 réduire les B avec les B' et avec les B" ; mais ces formules donnent des rela- 

 tions entre les produits deux à deux, trois à trois, etc., des nombres de 

 Bernoulli. La formule de M. Le Paige, donnée dans les Bulletins de l'Aca- 

 démie de Belgique, mai 1876, s'obtient en supposant simplement 



J{x, y) = x'" y". 



» 5. La formule (1) peut aussi être généralisée, et l'on a ainsi, pour la 

 fonction / x, y, 2), la formule 



(6) A>^ .... : J o, o, ; = M^,,,_J{5, S', S"). 



s On peut aussi exprimer les produits B,„U„ 'v ct Sw'v'v eu fonction 



