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 mière a 9 font un produit constant, le lieu du point x est une courbe d'ordre 

 2 m n" [ m' n'"n IV + n' ( m" n lv ■+- m" n" + 3 n'" n ,v ) ] . 



x, tÏ2(ni" // ,v + m" n'" -+- 2 n'"n lv ) nm" u 

 u, n" nm'" « lv ( 2 m' -+- 2 n' ) .r 



2fM»"[Hi'/* w M IV + h'(m"« ,v + m lv 7l'" ■+- 3»"/ï w )]. 



» XV. jDui! /;oi'ni a r/'inie courbe U,„ o» »nè/;e à e/ewc courbes U"",U"'" rfew.v 

 tangentes a 5', a 5 , e< /'on prend sur une courbe U m un point a c/'où /'ou puisse 

 mener à une couibe U"' une tangente &0 telle, que les trois tangentes aient un 

 produit constant (a6'.aS".a, (9 = u.) : la droite a,a enveloppe une courbe de la 

 classe 2mw l [m'n"u'' -+■ n'(m"n'" + m'"n") + 3n'n"n'"]. 



IX, mn"ii!"{im' -t-2iï)m l 1U 



IU, m, n's^iri'ri" +■ m'n" + 2n"n'")m IX 



2mm { [m tï'n'" + n'(m"n" + il" m") + ?>ri' n"ri"]. » 



analyse mathématique. — Note sur ta période de l'exponentielle e z ; 

 par M. Y von Villakceau. 



« Les considérations purement géométricpies sont insuffisantes pour 

 l'étude des fonctions circulaires et ne fournissent que très-peu d'éléments 

 à la théorie des fonctions hyperboliques. Aussi convient-il, lorsqu'on veut 

 présenter avec quelque généralité la théorie de ces fonctions, de faire un 

 moment abstraction de leurs origines géométriques et de l'établir en pre- 

 nant pour base la seule considération de l'exponentielle e z . L'identité de 

 ces fonctions avec celles qui portent le même nom en Géométrie se dé- 

 montre ensuite aisément. 



» Dans cet ordre d'idées, on est conduit tout d'abord à rechercher les 

 racines de l'équation 



e z = i. 



On voit immédiatement que cette équation n'admet qu'une seule racine réelle 

 z = o; mais existe-t-il une valeur imaginaire v; y' — i qui puisse y satisfaire? 

 en d'autres termes, peut-on déterminer un nombre réel zs tel que l'on ait 



(i) e v^ = ,? 



Cette recherche est de la plus haute importance; car, si ce nombres existe 

 et que l'on désigne par m un nombre entier, positif ou négatif, on aura 



