( 5<j5 ) 

 encore 



(2) e"*^= i, 



et toute exponentielle e x fournira la relation 



on aurait de même 



Si donc il est possible d'effectuer la détermination de ce nombre zs, on en 

 conclura que toute exponentielle e x à exposant réel x est une fonction 

 périodique dont la période est imaginaire et égale à zs \j — 1 , et inversement 

 que toute exponentielle de même base, à exposant imaginaire, est une 

 fonction périodique, à période réelle et égale au nombre zs, résultat capital 

 dans la théorie des exponentielles et, par suite, dans celle des fonctions 

 hyperboliques et circulaires qu'on en déduira. 



» De ce que le nombre m, équation (2), peut être pris arbitrairement 

 positif ou négatif, il suit que l'on peut s'en tenir à la considération de la 

 valeur absolue du nombre zs. 



» Il est clair que l'on ne pourra dégager le nombre zs de l'équation (1) 

 si l'on ne trouve le moyen de faire apparaître le radical imaginaire sj — 1 

 au second membre; or on y arrive aisément en prenant la racine quatrième 

 des deux membres de cette équation et se bornant aux racines imaginaires 

 de l'unité; on a ainsi 



e = ± \ 



équation qui admet pour zs deux valeurs égales et de signes contraires. 

 Comme il suffit de déterminer la valeur absolue de zs, on se borne à con- 

 sidérer le signe supérieur, et il vient, en prenant les logarithmes népériens 

 des deux membres, 



(3) JV-i=logV-i- 



» Telle est la formule bien connue, d'où il s'agit de tirer la valeur 

 de zs. 



» Pour y parvenir, il est nécessaire de donner à logy— 1 une forme 

 telle que log - — -, qui se prête à une facile réduction en séries. 



» Ordinairement, on se borne à faire remarquer que \ — ' P eilt se 



