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 et définies chacune par leur degré m et leur classe n, trouver le degré du lieu en- 

 gendre par un point mobile dont les distances p f , p 3} ..,, p k à ces courbes, comp- 

 tées chacune sur une normale convenablement choisie, satisfassent à une lelation 

 algébrique donnée 



(i) F(p,, fj,, ..., p k ) = o. 



» Le degré du lieu ainsi défini s'exprime très-simplement à l'aide des 

 degrés et des classes des courbes données, et des degrés des /• -+- i lieux, 

 en quelque sorte élémentaires, que l'on obtient, en remplaçant de toutes les 

 manières possibles, dans l'énoncé précédent, les k courbes par des points ou 

 des droites. La méthode que nous allons employer est analogue à la méthode 

 de substitution imaginée par M. Chastes, pour déduire les caractéristiques 

 d'un système quelconque de coniques des caractéristiques des systèmes 

 élémentaires de ces courbes. 



» Supposons que, ayant pris pour point de départ les lieux élémentaires 

 que nous venons de définir, nous y ayons substitué successivement les i — i 

 premières courbes à i — i points ou droites : nous aurons ainsi formé /■ — i 

 lieux intermédiaires. Parmi ces k — i lieux, prenons-en deux (M) et (N) 

 définis, le premier à l'aide de a •+■ i points p et |3 droites d, le second à l'aide 

 de u points p et |3 -f- i droites d, (a-+- ]3 = & — i); soient p. le degré de 

 (M), v le degré de (N). Considérons une droite L quelconque et, en 

 chaque point de celte droite comme centre, décrivons un ou plusieurs 

 cercles tels, que leur rayon associé aux distances normales du même 

 point aux / — i courbes, aux a points p et aux p droites d communs 

 à (M) et à (N), vérifie la relation (i). Parmi ces cercles il y en a évidem- 

 ment p. qui passent par le (« -+- i) lcme point/;, et v qui touchent la (/3 + i) ième 

 droite d : ils forment par suite, dans leur ensemble, un système (<j., v). Il 

 résulte de là, d'après un théorème connu (*), que le nombre de ces cercles 

 qui touchent la courbe (/;/,-, n,-) est égal à vm t -+- u.iii : tel est aussi le degré 

 du lieu obtenu en substituant la courbe (m,-, h,) au point p dans le lieu (M), 

 et à la droite d dans le lieu (N). 



» Cela posé, désignons symboliquement par [p a cft) le degré du lieu ob- 

 tenu, en remplaçant, dans la définition donnée au début de cette Note, les 

 /•' — i dernières courbes par v. points p et /3 droites d. On peut écrire le ré- 



(*] Voir la démonstration que nous avons donnée de ce théorème [Comptes rendus, 

 t. LXXXII, p. i3?.S . 



