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 sultat que nous venons d'établir de la manière suivante : 



(2) (ftP) = [pFdh^hii + [p* + 'd?')n n 



mais on a pareillement 



(jpiP") = (p a ^ +2 )w J -_, + {p a+ <dV + ' )//,_,, 



En substituant dans (2) ces expressions de (p' x (P + '), (p a+l (P), il vient 

 ( p «dV) = {pdt^)mt^m t +{p™& i ){m^ l n t + n^ l mt)+{p M tP)n± t ti l . 



» En continuant ces substitutions, on introduirait successivement dans 

 l'expression de (p a d$) : m,_ a , rc,_ 2 , hï/_ 3 , «,_ 3 , .. . , m,, /?,-; puis, en faisant 

 i = k dans la formule obtenue, on aurait (p°d°), c'est-à-dire le degré du 

 lieu défini au commencement de cette Note. Mais on peut se dispenser de 

 ce calcul ; il suffit de remarquer qu'en l'exécutant jusqu'au bout on arri- 

 verait à un polynôme dont chaque terme contiendrait au premier degré 

 l'un des deux éléments, degré ou classe, de chacune des Je courbes données. 

 Quant aux coefficients des termes de ce polynôme, ils se déterminent ainsi 

 qu'il suit : considérons un terme quelconque contenant les classes de 7 

 courbes, et les degrés des d restantes (7 + = k), et supposons que ces 7 

 et 5 courbes se réduisent respectivement à des points et à des droites : les 

 degrés et classes entrant dans le terme considéré deviennent tous égaux à 

 l'unité, et ce terme se réduit à son coefficient ; les autres termes du déve- 

 loppement s'annulent. M;iis la valeur numérique du polynôme est alors 

 égale au degré du lieu étudié, dans lequel on suppose les k courbes rem- 

 placées par 7 points et 3 droites : c'est donc symboliquement (p^d' J ). Tel 

 est le coefficient du terme général du polynôme qui renferme les classes de 

 7 courbes et les degrés des 5 restantes. On conclut de là que te degré dit 

 lieu étudié s'obtient en effectuant le produit 



(dm, -+- p/i, ) (dm 2 -+- pn 2 ) . . . (dm k ■+- pn k ), 



et en restituant, dans le développement, ù chaque coefficient sa signification sym- 

 bolique. 



Applications. — I. Le lieu d'un point équidistant de deux courbes (m,, ji, ), 

 (m.,, h 3 ) est une courbe de degré 2(/// ( m 2 -h m, h s -4- a, m. 2 ) -f- ?i t n 2 (*). 



(*) Théorème déjà énoncé et démontre par M. Cliasles [Comptes rendus, I. LXXXI, 

 P-99 6 )- 



C.B., 1876, a* Stmeitre. (T. LXXXUI, N a 12.) 79 



