(6o 9 ) 

 » Pboblème I. — Trouver le degré de la courbe enveloppe d'une courbe de 

 degré l, dont les coefficients de son équation sont les fondions les plus générales 

 de degré m, par rapport à un paramètre variable a. 



» Supposons que 



(i) f(xif, a) — <jf>, (x,y)a" l -h (p,(x,j)n m ~' +...= o 



représente l'équation de la courbe dont on cherche l'enveloppe, équation 

 ordonnée par rapport à la lettre a. Le lieu étant défini par l'équation (i) 

 et par l'équation 



( 2 ) 7iï (x >r,«)= mnp t (x 1 jr)a. m ~ t + (m - i)<p 2 (x, r)a m ~ 2 +...= o, 



les deux séries de points à considérer seront ici déterminées par les re- 

 lations 



( 3 ) f(ppi,qpma) = o, 

 (4) d Ta (pfa, qp 2 , a) = 04 



» i° Degré du lieu complet. — Si l'on donne à p, une valeur finie ou in- 

 finie, l'équation (3) donne m valeurs finies de a, auxquelles correspondent, 

 d'après (4), m .1 valeurs finies de p 3 ; on voit de même qu'à une valeur de 

 o 2 correspondent (m — i).Z valeurs de p, ; donc l'ordre du lieu représenté 

 par les équations (i) et (3) est 



N == ml -+- (m — i).l = l{2m — 1). 



» 2 Degré d'une courbe étrangère. — En prenant pour origine un point 

 quelconque de la courbe représentée par l'équation 



(5) tp t (x,y) = o, 



on reconnaît que cette courbe fait partie une fois du lieu. 



» Remarque. — On peut aussi se rendre compte de cette dernière cir- 

 constance [circonstance qui se manifestera d'une manière toute pareille dans 

 les problèmes suivants (*)] en faisant a infini dans les équations (1) et (2). 

 Dans cette hypothèse, ces deux équations se réduisent à l'équation (5). 



» Conclusion. — Le degré du véritable lieu est donc 



N'=Z(ajïi — 1) -l = 2l(m-i). 



(*) Je ne sache pas que l'on ait déjà signalé cette singularité. 



79- 



