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 nous aurons les quatre équations 



txd x f + fidxty + yd x x + &» = o, 



(2) 



» 



«A-j -hpAtjj -+- y A(^ -+-37§H = o. 



» D'un côté, on pourrait éliminer de ces équations deux fois les va- 

 riables .r,f, z et en tirer deux équations en «, |3, y qui serviraient pour 

 déterminer les deux quantités a '. j3 : y, et par conséquent les combes du 

 faisceau qui auront un contact à trois points avec la courbe U dans le 

 point P. 



» De l'autre côté, on pourrait de ces mêmes équations éliminer les 

 quantités a, /3, 7, 3 et en tirer le résultant 



l $ = d x f, d x <\>, d x %, u — o, 



) d r f, d r ty, <),/., v 



\ d z f, d z ty, <hX> w 



à(p, At{/, Ax, wll, 



c'est-à-dire une courbe du degré 3/m-h3h — 9, qui coupe la courbe U 

 dans les points où elle a un contact à trois points avec une des courbes 

 quelconque du faisceau. 



» Voici le théorème principal dont il s'agit : aux points d'intersection 

 de toutes les courbes 9, o, y, U (c'est-à-dire les points pour lesquels 

 <js = o, ty = o, x = o, U = o) la courbe $ a un contact à trois points 

 avtc U. En effet, posons 



(3) 



(4) 



K.,= 9, 4> X» u > & = àyf> àyty, d r x, iL*=[n — m):m, 



dytf, dyty, dyXl V, àgf, dyty, dyX, 



d t f, d z ty, ^X» w, A'j, A<}, A/, 



A<?, At}, A/^, srH, 

 on trouvera 



x$ — mp, mty, m/, rcU = mf , ty, x> U-t-fiU, 



J,?, dyty, dy%, V dyf, dyty , 0^, V, 



d z f, d z $, d*X> w à*<ti d *$i d *Y.> w > 



| A<p, A4*, Ax, ^H A<p, A}, Ax, uH, 



= m(K,-fJiKU), 



