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 Jonquières, dans le cas des systèmes de courbes algébriques de degré quel- 

 conque (*), et en dernier lieu par nous, dans le cas des systèmes de courbes 

 transcendantes ("). Mais, dans les trois cas, la solution suppose que la 

 courbe algébrique de degré donné, rencontrée par les courbes du système, 

 ne possède aucune singularité. La nouvelle solution que je vais indiquer 

 est affranchie de cette restriction ; elle est un cas particulier du théorème 

 suivant, que je démontrerai d'abord : 



» I. Etant donnés, dans un plan, tiois systèmes (p, v), (p/, v'), {[}■"■> v"), de 

 courbes algébriques ou transcendantes, et une courbe algébrique U,", du m' eme de- 

 gré et de la n'"" e classe, le nombre des points de cette dernière cowbe, en chacun 

 desquels passent trois courbes appartenant respectivement aux trois systèmes don- 

 nés, et ayant au point considéré, avec la courbe U,", un rapport anharmonique 

 donné )., est égal à [m + n)p.u.' p." ■+- m{p.' p."v -+- fi"fiv' -t- fXfi'v"). 



» J'appelle ici, par abréviation, rapport anharmonique de quatre courbes 

 en un point qui leur est commun, le rapport anharmonique des tangentes 

 à ces courbes en ce point. Supposons d'abord que la courbe U," se réduise 

 à une droite quelconque D (m ■== i, »^= o). Le théorème I, dans ce cas 

 particulier, résulte immédiatement du suivant que j'ai établi précédem- 

 ment (***), à savoir : 



« Étant donnés trois systèmes (p.,v) ,{p.' ,v'),(p." ,-/') , et unpoinlQ, le lieu d'un 

 point rt, tel que les tangentes à trois courbes appartenant chacune à chacun des 

 systèmes, et la droite aO forment un rapport anharmonique donné X, est une 

 courbe de degré ip.p! pi' -h pJpJ'v + [■>■"[■>■»' + \>-p!v", qui a un point multiple 

 d'ordre p.p.' p." en O. 



» Prenons le point O sur la droite D. Parmi les points de rencontre de 

 cette droite avec le lieu que nous venons de définir, p.p.' [J." sont confondus 

 avec le point O. Les autres, au nombre de pp.' p." -+- pfp"v -+- fJt"f* v ' + l x l J ' v "i 

 répondent aux conditions énoncées dans le théorème I ci-dessus. 



» Cela posé, cherchons les caractéristiques d'un quatrième système (p,'\v'"), 

 tel qu'en chaque, point du plan il passe quatre courbes appartenant respecti- 

 vement aux quatre systèmes, et ayant un rapport anharmonique donné X. On 

 peut associer les branches des trois systèmes donnés, qui passent en un point 

 quelconque du plan, d'un nombre de manières différentes égal à p.p.' p.", 



< • Comptes rendus, t. LVIII, p. 535-537. 

 '* Complet rendus, t. LXXVIII, p. 83l. — Bulletin de la Société mathématique, t. II, 

 p. 81-82. 



(*** ) Comptes rendus, loc. cit. — Bulletin de la Société mathématique, loc. cit. 



