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 d'après la condition que chaque groupe contienne une branche et une 

 seule de chacun des systèmes donnés. A chaque groupe correspond une 

 branche et une seule du système (p.'",v'"); donc p.'" =? pp.' p.". 



» La seconde caractéristique v'" est évidemment égale au nombre des 

 points d'une droite D quelconque, qui satisfont aux conditions du théorème I 

 envisagé par rapport à cette droite et par rapport aux trois systèmes don- 

 nés. On a donc v" = p.\x' p." + p.'^'v + [x" p.v' + pp'v". 



» Pour démontrer le théorème I dans le cas d'une courbe U,", quelconque, 

 il n'y a alors qu'à trouver le nombre des points de contact des courbes du 

 système (p",v") avec U£, Or ce nombre, d'après un théorème que nous 

 avons donné dernièrement (*), est 



/?p.'" -+- mv" = n^{]![!" + m (p.p/p." -+- p'p"v + p"p.v' + w'v"). 



» Le théorème lest ainsi démontré dans toute sa généralité, la démon- 

 stration précédente supposant uniquement qu'il n'existe aucun lien entre 

 les trois systèmes donnés et la courbe U,". 



» Réduisons maintenant les systèmes (p/, v') et (p.", v") à deux fais- 

 ceaux de droites ayant pour sommets respectifs deux points donnés e etf. 

 On a alors p.' = i , v' = o, p." = i , v" = o, et l'énoncé du théorème I devient 

 le suivant : 



» IL Étant donnés un système (p, v), une courbe algébrique U," du 

 m ihne degré et de la n ième classe, et un segment ef, il existe (m -+- n) p. H- mv 

 points de U,"„ en chacun desquels la tangente à U", et la tangente à l'une des 

 courbes du système qui y passent divisent ej suivant un rapport anharmonique 

 donné 1. 



» Si l'on suppose, dans ce dernier théorème, que les points e et/soient 

 les points circulaires à l'infini, on obtient le résultat suivant : 



» III. Etant donnés un système (p., v), et une courbe algébrique U,", du 

 m ième degré et de la ri ime classe, il existe (ra + »)fi + mv branches de courbes 

 du système, qui coupent \}" n sous un angle donné de grandeur et de sem de rota- 

 tion. 



» Lorsque les points e et^s'éloignent à l'infini dans deux directions rec- 

 tangulaires, le théorème II devient : 



» IV. Etant donnés un système (p., y) et une courbe algébrique U", du 

 m time degré et de la n ième classe, il existe (m -+- n) p. -+- mv branches de courbes 



Comptes rendus, t. LXXXII, p. i328. 



