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 encore généraliser les résultats précités. Voici le problème que je vais 

 d'abord traiter : 



» Soient données k relations algébriques entre les coordonnées de k points 

 /, , . . , l k et de la droite X, ,. . ., X A , ilans un plan. 



» Soient, d'autre part, ?,,..., çp A des courbes algébriques du même plan. De 

 combien de manières peut-on astreindre simultanément chaque couple (/,).,) à 

 être composé d'un point de la courbe Ç9 { - de même indice et de la tangente de y,- en 

 ce point? 



» Je représente le nombre cberché par le produit symbolique <p, 9 2 ...ç< A . 

 Si (fi est une droite, j'emploie pour la désigner la lettre D,; si c'est un point, 

 la lettre P,. Je supprime, pour un instant, la condition relative à(/ A , X A ), les 

 autres conditions subsistant. Alors (/ A , X A ) décrit un connexe. Soient v, u 

 l'ordre et la classe de ce connexe. D'après le théorème ci-dessus, le 

 nombre cherché est (p.n k -f- vm k ). Si y k se réduit à D A ou à P A , ce dernier 

 nombre se réduit à v ou à p.. D'après nos conventions, on a donc 



<P(?2.- <p*= ? ( ? 2 - ■•<?*-) P* «a + <Pi?2-- ! ?à-iDa»à = ? ) ( P2- ••?*-) (P a «a + D a « a ). 



<> D'où résulte immédiatement que : Le nombre cherché est symbolique- 

 ment égal au produit des k facteurs ( P, 72, -H D, m,), dans lequel chaque produit 

 de k lettres P, D doit être remplacé par le nombre répondant à la question dans 

 le cas où les courbes correspondantes sont des points cl des droites. 



» Et, en second lieu : Si l'on supprime la condition relative à <p A , ( / A , X A ) dé- 

 crit un connexe dont l'ordre et la classe sont représentés symboliquement par le 

 produit des (k — \)facleurs (I',»,- ■+- D,m,-), grâce à une convention analogue. 



» Je prends ce dernier résultat et je suppose que les k relations données 

 ne contiennent qu'un des deux éléments l k ou \. Au lieu d'un connexe, on 

 a alors un lieu de points ou une enveloppe de droites, dont l'énoncé 

 précédent fournit l'ordre ou la classe. C'est, comme on le voit, la formule 

 de M. Fouret généralisée (*). 



» J'envisage maintenant k ce cas spécial où la droite ~k k ne figure pas 

 dans les k relations données, et où l'on supprime «p* ; et je vais traiter une 

 nouvelle question à ce sujet. 



» Soient données k relations entre un point l et (A — i) couples (/, X,). Soient, 

 d'autre part, [k — i) courbes 9,, relativement auxquelles on astreint les cou- 



(*) SI. Fouret a omis les indices des lettres P, D. Cette omission n'est permise que si les* 

 relations sont symétriques par rapport aux (A — 1) couples (/,■>/). 



