( 758 ) 

 de solutions auxquelles se prête le Principe de correspondance dans la 

 question. 



» Cette extrême fécondité de cette méthode et son intimité avec les 

 deux éléments principaux d'une courbe générale, l'ordre et la classe, d'où 

 doivent dériver presque toutes les propriétés de la courbe, paraîtront peut- 

 être réaliser les prévisions ou du moins les paroles d'Archimède sur le ca- 

 ractère et l'avenir de la Géométrie : « Combien y a-t-il de théorèmes de 

 » Géométrie qui paraissent d'abord ne présenter aucun moyen d'être 

 » connus, et qui, dans la suite, deviennent évidents (*)! » 



» I. Le lieu d'un point x d'où, l'on mène à trois courbes U"', U"'", U""' trois 

 tangentes xd, xO' , xO" faisant une longueur constante (xS + xS'-f- xO"— 1) 

 est une courbe d'ordre 2(m'n"n"'-t- m" n'n'" -H m"n'n"-i- 2n'n"n'"). 



x, n'n" (an" -f- 2TÏ") u 



u, n'"2{nïn"+m"n'+ n'n") [V] (**) x 



m n n 



m n n 

 2n 'ri'ii 



» II. Le lieu d'unpointx d'oit l'on mène à trois courbes U"', U"", U"'" trois 

 tangentes xô, xô', xO", dont la troisième rencontre une courbe V m en un pointa 

 tel, que le segment xa fasse avec les deux premières une longueur constante 

 (x -+- x 6' -h xa = >.), est une courbe d'ordre 2 mu'" (m' n" + m"n' + 3 n'n"). 



x, n'n"[\mn'" 

 u, n'"m2{m'n" 



» Autrement : 



m"ri+rin") [V] 



u 



X 



2 mn m n 



m ii 



Zrin"). 



x, n'2mn'"(m"+ 3rc") [VI'] u 



u, 



n n m 2 m 



ara') 



a mh'" (m'n"+ ni' ri + t\rin"). 



» Il y a 2inn" n'n" solutions étrangères dues au point x situé à l'infini. 

 Il reste inui"(irin" -t- m"n'-+- 3n'n"). Donc, etc. 



0", 7i'n"2mn'" 0\ 



0\ , m 2 (ni n" + m" ri + 2 ri n" ) ri" [ I j 0" 



2 mn m n 



m n 



3rin"). 



» III. Le lieu d'un point x d'où l'on mène à trois courbes U" , U , U"" 

 trois tangentes xO, x0\ xO", dont la troisième rem (mire une courbe U,„ en un 

 point a tel, que le segment :\6" fasse avec les deux premières une longueur cotl» 



(*) Œuvres d'Archimède, Pn'-face des spirales. 



{**) J'indique par un accent prime les théorèmes relatifs à des couples de segments. 



