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x Cette dernière proposition peut, sans difficulté, être démontrée direc- 

 tement; et, cela fait, on en peut déduire une démonstration géométrique 

 du théorème I, comme il suit : 



« Soient a, a' et b, b' deux couples de coniques telles, que les rapports 

 anharmoniqu.es des points d'intersection de a et a' considérés successive- 

 ment sur a et sur a' soient respectivement les mêmes que ceux des points 

 d'intersection de b et b', considérés sur b et sur b'. Il est aisé de voir que 

 la figure b, b' est une transformée homographique de la figure a, a'. Donc 

 les deux rapports anharmoniques h, h', déterminés sur a et a' par les 

 points d'intersection de ces coniques, caractérisent complètement l'en- 

 semhle des transformées homographiques de la figure a, a'. Donc toute 

 relation projective à laquelle satisfait la figure a, a' s'exprime par une 

 relation entre h et h'. Si a, a' est une figure corrélative de a, a', les 

 nomhres h et h' sont, d'après le théorème II, les rapports anharmoniques 

 des points d'intersection de a, oc' considérés sur a' et sur a. Donc les co- 

 niques a' et a satisfont à la même relation que les coniques a, a'. D'où le 

 théorème I. 



» Voici quelques cas particuliers de ce théorème : 



» THÉORÈME III. — Si l'on peut inscrire dans une conique A des triangles 

 conjugués par rapport à une autre conique A', on peut circonscrire à A' des 

 triangles conjugués par rapport à A; théorème dû à M. Smith. 



» Théorème IV. — Aux points d' 'intersection de deux coniques A, A' on 

 mène les tangentes de A. Ces droites rencontrent de nouveau A' en quatre 

 points m. Par les points de contact de A' avec les tangentes communes de A, A', 

 on mène les secondes tangentes à A. Le rapport anharmoidque de ces quatre 

 tangentes de A est égal à celui des quatre points m de A'. 



» Théorème V. — Si la tangente de A en un point commun à A, A' ren- 

 contre de nouveau A' en un point par ou passe la tangente de A en un second 

 point commun aux deux coniques, la seconde tangente menée à A par le point 

 de contact de A' el d'une tangente commune rencontre de nouveau A' au point 

 de contact d'une seconde tangente commune. C'est ce qui a lieu lorsqu'on 

 peut inscrire dans A' des quadrilatères circonscrits à A. 



» Théorème VI. — Si deux cordes communes conjuguées de A et A' ont 

 même pôle, L'une par rappoil à A, l'autre par rapport à A', les huit points de 

 contact de A et de A' avec leurs tangentes communes sont distribués sur deux 

 ligues droites, etc. « 



