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ANALYSE MATHÉMATIQUE — Intégration géométrique de l'équation aux 

 dérivées partielles L (px -+- qy — z) — Mp — T$q -+- R = o *) , dans 

 laquelle L, M, N et R désignent des fonctions linéaires de x, r, z. 

 Note de M. G. Fouret. 



a J'ai signalé, il y a quelques mois, l'utilité que me paraissait présenter 

 l'étude des implexes, au point de vue de la théorie des équations aux déri- 

 vées partielles, et j'ai annoncé en même temps que j'étais arrivé, par cette 

 voie, à intégrer complètement une classe assez étendue d'équations aux dé- 

 rivées partielles du premier ordre, dont on n'avait pas obtenu jusqu'à 

 présent l'intégrale générale. L'équation qui fait l'objet de cette Note en 

 fournit un premier exemple. 



» Cette équation a une signification géométrique fort simple : elle dé- 

 finit l'implexe général [Q = 1, = 1). Pour l'intégrer, je me sers des 

 propriétés suivantes de cet implexe, qui se démontrent d'ailleurs assez fa- 

 cilement : 



» I. Le lieu des points de conctact des plans tangents menés par une même 

 droite D, aux surfaces d'un implexe [Q = 1, y = i), est une surface gauche du 

 second degré, qui passe parD et par quatre points fixes e, j, g, h, indépen- 

 dants de D. 



» Le tétraèdre ejgh joue un rôle important; je l'appelle tétraèdre polaire 

 de l'implexe. Les points e,J, g, h sont les pôles de cet implexe; ce sont les 

 points d'intersection des trois paraboloïdes hyperboliques 



(1) La: — M = o, L/ — N = o, Lz — R = o, 



qui ont pour plan directeur commun L= o. 



» IL Toute surface appartenant à un implexe (6 = 1, tp = 1) est telle, que 

 le plan langent en l'un quelconque de ses points forme des rapports anharmo- 

 niques constants avec les plans passant par une certaine tangente de la surface 

 au point considéré, et par les quatre pôles de l'implexe. 



» Ces rapports anharmoniques sont les mêmes pour toutes les surfaces d'un 

 même implexe. 



(*) Cette équation aux dérivées partielles a une forme tout à fait semblable à l'équation 

 différentielle ordinaire, intégrer pour la première fois par Jacobi, dont j'ai donné précédem- 

 ment une méthode d'intégration géométrique. [Comptes rendus, t. LXXVIII, séance du 

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