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» La tangente dont il s'agit dans cet énoncé est le lieu des points de 

 contact des surfaces de l'implexe avec un même plan. 



» Considérons les courbes définies par le système d'équations différen- 

 tielles simultanées 



. dx dy dz 



( 2 Lx — M ~ Ly — N ~ ÏTc — R ; 



on peut les appeler courbes intégrales de l'implexe; elles jouissent de la 

 propriété suivante : 



» III. La tangente à l'une quelconque des courbes intégrales de l'implexe 

 f Q=i f f=i) coupe les faces du tétraèdre polaire en quatre points, qui for- 

 ment, avec le point de contact de la tangente, des rapports an harmoniques con- 

 stants (les mêmes que ceux mentionnés au théorème II). 



» Ce théorème est particulièrement important : il établit d'abord l'iden- 

 tité des surfaces et des courbes de l'implexe (S = i, <p — i), avec les sur- 

 faces et les courbes qui ont été étudiées par MM. Klein et Lie (*), à un point 

 de vue tout différent, sous le nom de surfaces etcourbesY. En second lieu, 

 ce même théorème donne la clef de l'intégration de l'équation 



(3) L(px-hqj— z) — Mp - N? + R= o, 



dans laquelle on suppose 



j L — a +- a'x + a"j + a'"z, M = b + h'x -+- b"j -i- b'"z, 

 j N = c + c'x + d'y -h c'"z, R = ci + dx ■+- d"j + d'"z. 



(4) 



Dans ce but, prenons le tétraèdre polaire çfgh pour tétraèdre de référence, 

 et désignons par u, = o, u 2 = o, n 3 = o, u. t = o les équations de ses faces 

 en coordonnées ordinaires; on conclut du théorème III que les courbes 

 intégrales ont pour équations 



( 5 ) u l p u\ u~' = k, iùp' ii\ u£ = k'. 



Dans ces équations, k et k' sont des constantes arbitraires. 



» Quant à p et p', si e',J', g', h' sont les points de rencontre des faces 

 du tétraèdre respectivement opposés aux sommets e,J, g, h, avec une tan- 

 gente mt, en un point m quelconque de l'espace, à la courbe intégrale qui 

 y passe, on a 



(6) « - 5£ • fZ.', p ' = ^-fZ. 



^ ' ' m g' e' g' ' mIJ ' e' h' 



' Comptes rendus, t. LXX, p. 1222 et 12^5. 



