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 nature, c'est-à-dire en tenant compte de l'influence des diverses résistances 

 passives. 



» J'envisage, en premier lieu, celle du frottement. Les formules du 

 calcul des variations prennent alors une très-grande complication, car il 

 s'agit de rendre minimum l'intégrale 



H^^m-m-] 



en désignant par o et <{/ des fonctions inconnues de l'arc s qu'il faut déter- 

 miner accessoirement. J'arrive cependant à dégager complètement l'équation 

 de la brachistochrone entre le rayon de courbure p et l'angle de contin- 

 gence 8, 



sin (6 — a) sin (9 — 8) sin (9 + S) 

 1 sin 3 (9 — y ) sin 3 ( -j- 7 ) 



Cette courbe est composée d'une infinité de branches identiques. Chacune 

 d'elles présente deux inflexions et trois rebroussements. Ces points singu- 

 liers peuvent du reste disparaître pour un certain degré d'atténuation du frot- 

 tement, sauf l'un des rebroussements qui existe nécessairement, est placé 

 verticalement et doit former le point de départ en l'absence de vitesse 

 initiale. 



» J'ai considéré, en second lieu, la résistance des milieux que je suppose 

 s'exercer suivant une fonction quelconque de la vitesse. Malgré ce degré 

 de généralité, je ramène la question à l'élimination d'un paramètre entre 

 deux équations. De plus, si l'on suppose que la loi de la résistance procède 

 suivant une puissance arbitraire, entière ou fractionnaire de la vitesse, je 

 l'amène cette élimination à la résolution d'une équation du troisième degré, 

 quel que soit l'exposant. J'ai, en particulier, effectué le calcul pour la loi 

 de la nature qui procède d'après le carré de la vitesse. J'ai ainsi obtenu 

 pour l'équation de la brachistochrone d'un point pesant se mouvant dans 



l'air 



■B „„ . -Y 



'] _ B'* 



3 C sin m (A sin m — Biosc 



.± 



2Csinu (Asinu — Bcoso 



-P 



»]" 



» Parmi les lois autres que celle de la nature et qui n'ont plus par suite 

 qu'un intérêt purement analytique, il faut citer celle de la résistance en rai- 



1 iG.. 



