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 son inverse de la vitesse. Elle jouit, en effet, de lelégante propriété d'être 

 seule capable de conserver dans un milieu résistant le théorème fonda- 

 mental d'Euler sur les brachistochrones dans le vide, à savoir que la réac- 

 tion normale de la courbe est constamment double de la composante nor- 

 male de la pesanteur. 



» Je suppose, enfin, la réunion du frottement et de la résistance des 

 milieux, en lui adjoignant même la résistance au roulement pour le cas où 

 il y aurait quelque pièce roulante, en même temps que des glissières pour 

 guider le mouvement. Pour ce cas général, qui est définitivement celui de 

 l'expérience, je ramène encore la question à la résolution d'une équation 

 du troisième degré. » 



CÉOMKTP.IE. — Sur les caractéristiques des systèmes de coniques et de surfaces 

 du second ordre. Mémoire de M. Halphen. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires: MM. Chasles, Bonnet, Puiseux.) 



« Dans une Note récente (*), j'ai indiqué des cas d'exception au théorème 

 de M. Chasles concernant le nombre des coniques d'un système qui satis- 

 font à une condition. Le problème qui consiste à déterminer ce nombre 

 est résolu, d'une manière générale, dans le Mémoire que je soumets aujour- 

 d'hui à l'Académie. Pour faire aisément saisir la signification exacte des 

 résultats acquis antérieurement et de la solution nouvelle, je ferai un rap- 

 prochement entre ce problème et un autre d'une nature plus simple. 



» Pour déterminer le nombre des points d'une courbe algébrique plane 

 qui satisfont à une condition donnée, par exemple le nombre des sommets, 

 des points sextactiques, etc., on fait habituellement passer la solution du 

 problème par trois phases successives, en qualifiant d'abord la courbe par 

 son ordre, puis par son ordre et des singularités ordinaires, enfin par son 

 ordre et des singularités quelconques. C'est par les mêmes phases qu'a 

 passé la solution du problème concernant les coniques, ainsi que je vais 

 l'expliquer. 



» Un système de coniques peut contenir des figures singulières de trois 

 espèces distinctes : i" le point avec deux droites passant en ce point; 2° la 

 droite avec deux points situés sur cette droite; 3° la droite avec un seul 

 point. Je désigne, pour abréger, ces singularités par les lettres A, A', B. La 

 première A n'est qu'une singularité tangentielle, comme sur les courbes, 



(*) Comptes rendus, t. LXXX1II, p. 537- 



