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 les inflexions et les tangentes doubles. La seconde A' est la corrélative de A. 

 Les singularités A et A' sont ordinaires; la troisième B est une singularité 

 élevée. Cela posé, je démontre que : 



» THÉORÈME I. — Si un système ne contient que la singularité A, le nombre 

 des coniques de ce système qui satisfont à une condition quelconque est le produit 

 de deux nombres, dont l'un ne dépend que du système, l'autre que de la condition , 

 C'est le résultat trouvé par M. de Jonquières. 



» THÉORÈME IL — Si un système ne contient que les singularités ordinaires, 

 le nombre des coniques de ce système qui satisfont à une condition quelconque 

 est a\J. + /3v, \x et v étant les caractéristiques du système, et a, fi îles nombres ne 

 dépendant que de la condition. 



» Si le système contient la singularité B, ce dernier théorème ne s'ap- 

 plique plus, à moins que la condition ne soit soumise à son tour à des 

 restrictions. A cet égard, je démontre les deux propositions suivantes : 



» THÉORÈME III. — Si, pour une condition donnée $, le nombre fi (défini au 

 théorème II) est nul, le nombre des coniques d'un système quelconque qui satis- 

 font à la condition <I> est égal à a\J.. 



» Théorème IV. — Pour que le nombre des coniques satisfaisant à une con- 

 dition donnée $, et faisant partie d'un système quelconque (f.,v), soit égal à 

 c/.u. -\- 8v (a et fi étant définis par le théorème II), il faut et il suffit que le 

 nombre des coniques satisfaisant à la condition $ et ayant, en un point donné, 

 des contacts du troisième ordre avec une courbe donnée j soit égal à « + fi. 



» Dans tous les autres cas, le résultat est d'une forme beaucoup puis 

 compliquée. On peut cependant en obtenir une image, grâce à l'artifice sui- 

 vant. 



» Tous hs éléments utiles, relatifs à un système, se trouvent représen- 

 tés dans une courbe que l'on peut dire attachée au système. Je la préciserai 

 plus loin, et je me borne, pour le moment, à dire qu'elle est donnée par 

 une équation en coordonnées rectilignes, et qu'elle passe à l'origine des 

 coordonnées dans le seul cas où le sytème contient la singularité B. 

 De même aussi, les éléments utiles, relatifs à une condition, sont repré- 

 sentés dans une courbe attachée à la condition. Cela étant, j'obtiens ce 

 théorème : 



» THÉORÈME V. — Le nombre des coniques satisfaisant à une condition(tx, fi ) 

 et faisant pallie d'un système (p., y) est inférieur à v.{J.-\- fiv, et en diffère d'un 

 nombre égal à celui des points qu'ont en commun, à l'origine des coordonnées, 

 la courbe attachée au système et ta courbe attachée à la condition. 



