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 (où est une racine primitive de l'équation e r n = i; a est une racine pri- 

 mitive de l'équation rz ,0 = i; a est égal à "_ ■■> et /3 est une racine, choisie 



à volonté, de l'équation a 2 -+- ^ •+- i = o). 



» Les équations différentielles linéaires du second ordre, dont le groupe 

 est celui que nous venons d'indiquer, ont deux intégrales particulières x, 

 y, définies par les équations 



x" = A, r n = B, 



où A et B sont des fonctions rationnelles de la variable indépendante et 

 des racines d'une équation du cinquième degré, à coefficients rationnels 

 en z, et dont le discriminant est un carré parfait. 



» La question devient notablement plus difficile, si le nombre des va- 

 riables n'est plus supposé égal à 2, mais à un nombre quelconque n. Notre 

 méthode reste néanmoins applicable, et nous a fourni le théorème général 

 suivant : 



» Théorème. — Si un groupe G est formé d'un nombre fini de substitutions 

 linéaires à n variables, il contiendra un autre groupe II dont les substitutions 

 seront de la forme simple 



et permutable à toutes les substitutions de G. V ordre g de G sera égal à kh, h 

 étant l'ordre de II, et k un entier inférieur à une limite fixe, assignable a priori 

 pour toute valeur de n. 



)> Ou en d'autres termes : 



n Si une équation différentielle linéaire d'ordre n 



(E) f{z)u +/; (z) «'-+-...+./„_, (2) M c-" + m"" = o 



a ses intégrales algébriques, elle admettra n intégrales particulières jc,, ..., sr,, 

 racines d'équations binômes, dont les seconds membres seront des fonctions ra- 

 tionnelles de z et d'une racine y d'une équation irréductible 



F (3, r) = o, 



dont le degré k sera inférieur à une limite fixe. 



» Ou bien encore, en empruntant le langage de M. Fuchs : 



» Le degré des formes primitives construites avec les intégrales de l'équa- 

 tion (E) sera limité. 



» Il résulte de cette proposition que les groupes G, ou les équations dif- 





