2 mm, (2m' -+- n'). 



de deux segments pris sur une tangente et sur une oblique. Je prendrai les 

 théorèmes qui, pour des normales, pourraient être regardés comme des 

 conséquences des théorèmes démontrés dans ma dernière Communica- 

 tion (*) : il y aura ainsi une vérification de ces théorèmes par une démon- 

 stration différente (**). Je commencerai par des théorèmes relatifs à des 

 courbes enveloppes, que le défaut d'espace ne m'a pas permis d'introduire 

 dans ma dernière Communication, consacrée aux lieux géométriques (***). 



» I. De chaque point a d'une courbe U m on mène à une courbe U"' une 

 oblique an, et de son pied une droite na, terminée à une courbe U mi , et faisant 

 avec L'oblique an une longueur constante (are-t- rca, = X); celte droite enve- 

 loppe une courbe de la classe 2 mm, (am'-f- n') [VII]. 



IX, irini2.m K IU 



IU, m, 2 (ni hri)m [II] IX 



» II. De chaque point a d'une courbe U OTi on mène une oblique an à une 

 courbe U"' et une droite a , a terminée ù une courbe U,„, et faisant avec l'oblique 

 une longueur constante (a, n -+- a, a = 1) ; ces droites a, a enveloppent une courbe 

 de la classe 4nini,(m'+ n') [XI]. 



IX, m,(m' + n')2in IU 

 IU, m 2 [m! + n')m, IX 



» III. De chaque point a d'une courbe U,„ on abaisse sur une courbe U"" une 

 oblique arc', et l'on prend sur une courbe U, ni un point a, dont la distance au 

 point re* plus l'oblique fasse une longueur constante (an -h- n'a, =X); les 

 droites aa, enveloppe?it une courbe de la classe 4mm, (ni" -+- n") [XIV]. 



IX, m(m"-+- n")am, IU 



IU, m i 2(m"-hn a )m[U] IX 



» IV. De chaque point a d'une courbe U,„ on mène à une courbe V" une 

 oblique an, et l'on prend sur une courbe U mi un point a, d'où l'on puisse mener 

 à une courbe U"" une tangente a, 6' faisant avec l'oblique art une longueur 

 constante (an -H a 4 0' = X); la droite aa, enveloppe une courbe de la classe 



* ) Comptes rendus, séance du I i décembre. 



(**) Celle vérification m'a lait reconnaître qu'il y a eu omission de 2mm' m" solutions 

 étrangères dans le théorème VIII, p. ii25, et de 2mm"n"n' dans le théorème XXI, 

 p. ï i 28. 



(*"*) J'indiquerai, à la suite de chaque énoncé, le numéro du théorème auquel il cor- 

 respond. Les théorèmes invoqués dans les démonstrations sont ceux aussi auxquels font 

 suite les théorèmes actuels. 



Il mm, (m' -h n'). 



^mm i (m"-\- n"). 



