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» Quant à R,, on trouve sans peine 



B 3 = ^- sm 2 y' If m" a b^; 



le signe 2 se rapporte aux sept satellites inférieurs, que l'on suppose se 

 mouvoir dans le plan de l'anneau; m" est la masse de l'un quelconque 

 d'entre eux, a le rapport de son grand axe à celui de Japhet et b A l'une 



des transcendantes de Laplace, fonction de a. 



» Les termes négligés dans R , R,, R 2 sont inférieurs à la millième partie 

 des termes conservés; l'approximation est moins grande dans R 3 ; dans le 

 cas de Titan, ce qu'on néglige est environ la soixante-dixième partie de ce 

 que l'on conserve. Réunissant toutes les parties de R, j'ai 



(2) R = Rsin 2 y-t- R'sin-/, 



K et K' étant des constantes dont voici les expressions : 



et l'intégrale (1) va pouvoir s'écrire 



Rcos 2 v+ R'cos 2 7' = C, 



relation bien simple entre les angles y et ■/. 



» Soient X, Y, Z les coordonnées rectangulaires du pôle M de l'orbite 

 du satellite, l'origine étant, au centre de la sphère, X , Y , Z„; X' , Y , Z' 

 les mêmes quantités relatives aux pôles P et P' de l'orbite de Saturne et de 

 l'anneau; la dernière équation deviendra 



R(XX + YY + ZZ )= -H R'(XX' + YY' + ZZ' ) 2 = C. 



C'est l'équation d'un cylindre elliptique dont l'axe passe par l'origine, et 

 qui, par son intersection avec la sphère X 2 -+- Y 2 -+- Z 2 = 1, donnera une 

 ellipse sphérique. 



» Soient C le centre de cette ellipse, i = CP, *'= CP', PP'= A; A sera 

 l'angle de l'orbite de Saturne et de l'anneau. On trouve aisément 



K/sin2A ., Ksin2A 



taneai=- ^7— — . taii£2t — ■=-. — ^ -• 



K -+- K cos 2 A D K ' -t- K cos 2 A 



Introduisons, pour définir la position du point M, deux coordonnées po- 

 laires p = MC, 9 = P'CM, et l'équation de l'ellipse sphérique sera 



(3) 



(R -4- R'-f- v / K-" + K' ;i + aRR'cos2A)cos 2 ,s 



+ (k + R'— v 'R 2 -h R' 2 + 2RK'cos2A)sin 2 pcos 2 <p = 2C. 



