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» Soient F et F' les foyers de cette ellipse sphérique; on aura 



MF + J\1F'= const. 



Si nous considérons les deux plans fixes dont les pôles sont F et F', nous 

 voyons que le plan de l'orbite du satellite fera avec ces plans deux angles 

 dont la somme sera constante, et nous pourrons énoncer ce théorème : 



m Si l'on considère sur la sphère les grands cercles qui représentent l'orbite 

 de Saturne et l'anneau, et que, par leur intersection, on mène deux grands cercles 

 convenablement choisis, l'orbite du satellite formera avec ces deux derniers cercles 

 un triangle de surface constante. 



» Il est à remarquer que le plan fixe considéré par Laplace est celui qui 

 a pour pôle le centre C de l'ellipse sphérique, et comme, par suite des 

 conditions initiales, cette ellipse ne diffère pas beaucoup d'un petit cercle, 

 Laplace a pu dire que l'orbite du satellite se meut sur un plan fixe, en 

 conservant avec ce plan une inclinaison à peu près constante. 



» La considération de l'ellipse sphérique montre immédiatement entre 

 quelles limites devront toujours rester comprises les inclinaisons *y et y'. 



)> Reste à trouver la loi du mouvement du pôle M sur cette courbe; on 

 a, d'une manière générale, 



™%i - <r sinl 7 , = ^ + (i - cosl) ^ • 



Ici nous négligeons e 2 , et R est indépendant de zô\ je vais appliquer la re- 

 lation précédente en rapportant les longitudes et les inclinaisons au plan 

 fixe de Laplace; je remplacerai I par p et par — o, et je trouverai 



„ . dp dK 

 lia' SIIÏB-7- = r— 



r dt dtf 



En tenant compte de la valeur (2) de R de l'équation (3) entre p et y, des 

 expressions suivantes de cos y et cos-/ : 



cosy = cosfcosp — sin/sino cosç, cos-/ = cos/'cosp + sin*' sino cos<p, 



on arrive à l'équation suivante 



r/cosp 



y'iCOSV' — COS'p ' COS 2 p — COS p' 



= H^. 



J'ai désigné par ip' et 2p" le grand axe et le petit axe de l'ellipse sphé- 

 rique, et par H une constante dont on formera aisément l'expression 

 » J'introduis la variable auxiliaire a définie par l'équation. 



cos- = cos 2 p" cos 2 u. + cos 2 /3'sin 2 y.. 



