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forme 



AX« -+- BX 3 -+- CX J -+- DX -4- E 



X = 



(-) ir = 



\ Z ~ a\" -+- pX 8 -4- 7X 2 4- 3'K -4- e 



je retrouve dans la première partie de ce travail les résultats déjà connus, 

 relativement à la génération de ces courbes, et j'indique les relations qui 

 ont lieu entre les coefficients, lorsque la courbe possède un point 

 double. 



» Dans la deuxième partie, j'étudie particulièrement les courbes gau- 

 ches unicur sales du quatrième ordre, qui sont telles qu'on peut leur im- 

 primer un mouvement hélicoïdal, dans lequel la vitesse de chaque point de 

 la courbe est normale au plan osculateur à la courbe en ce point. Je 

 donne les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que la courbe 

 représentée par les équations générales jouisse de la propriété indiquée. 

 Ces relations de condition sont celles qui expriment que les quatre points 

 de la courbe où le plan osculateur est stationnaire sont confondus deux 

 à deux; les deux points I et I', avec lesquels ces quatre points viennent 

 se confondre deux à deux, sont des points simples en chacun desquels la 

 tangente a trois points confondus communs avec la courbe. Les équations 

 de toute courbe de cette classe particulière peuvent se mettre sous la 

 forme (1), dans laquelle on suppose nids les coefficients de X 2 , c'est-à-dire 

 sous la forme 



, v _ AX'4-BX 3 -4-DX + E 



^ X ~ a X'-4-pX< + <ÎX4-e ' '"' 



et réciproquement toute courbe représentée par des équations de cette 

 forme appartient à cette classe. J'appelle point conjugué d'un point M de 

 la courbe le point M', où le plan osculateur en M coupe la courbe; le 

 point M est alors à son tour conjugué du point M'. J'appelle de même plan 

 conjugué d'un plan osculateur P de la courbe le plan osculateur P', au 

 point où le plan P coupe la courbe; le plan P est alors aussi conjugué 

 de P'. Si quatre points de la courbe sont dans un même plan P, leurs con- 

 jugués sont aussi dans un plan P': j'appelle ces deux plans P et P' deux 

 plans conjugués par rapport à la courbe; de même, si quatre plans oscu- 

 lateurs de la courbe se coupent en un point p, leurs conjugués se coupent 

 aussi en un point p', et les deux points p et p' sont conjugués. Lorsqu'un 



