( 1288 ) 

 [\m -+- (2 ou 3); 1/ est composé si aucun des l\m ■+- (2 ou 3) premiers termes 

 n'est divisible par p. De plus, si a désigne te rang du premier résidu nul, tesdivi- 

 seurs de p ont la forme linéaire 2.3*. /r ± 1, combinée avec celles des diviseurs 

 de 5a? 2 — 3/ 2 et de x- — 2 r 2 dans le premier cas, et de x 2 — 6y 2 dans le 

 second. 



» On observera que la différence des termes correspondants dans les 

 deux séries précédentes est égale à 2. 



» Exemple. — Pour p = 2.3' — 1, les résidus sont 2, 17, i4°4i °j donc 

 p est premier, puisqu'il n'a pas de diviseur inférieur à sa racine carrée. 



» V . — Soit le nombre 



p= 2.5 2m+l -h I. 



On forme la série limitée à 2m -f- 1 termes 



11,167761,... avec r n+i = r%+- 5/"*+ 5r„. 



Le nombre p est premier lorsque le rang du premier résidu nul est égal à2m + i; 

 il est composé si aucun des termes n'est divisible par p. Enfin, si a désigne le rang 

 du premier résidu égal à zéro, les diviseurs premiers de p sont de la forme 

 2.5 a .A + 1. 



» On obtient des théorèmes analogues en remplaçant les nombres 2, 3 

 et 5 par des nombres premiers quelconques, en changeant la loi de for- 

 mation de la série. On peut d'ailleurs augmenter les coefficients des puis- 

 sances de 2, 3, 5 ou d'un nombre premier quelconque, d'un multiple de 

 io, sans changer les résultats précédents; mais il faut alors remplacer les 

 deux premiers termes des séries récurrentes considérées précédemment. » 



analyse. — Enoncés de divers théorèmes sur les nombres; 

 par M. F. Proth. 



« I. — Un nombre premier n'est susceptible d'être décomposé en deux 

 puissances semblables que quand Y exposant de ces puissances est de 

 forme i h . 



» II. — Si un nombre terminé par 7 est composé de 2 carrés, la diffé- 

 rence entre les racines est plus grande que 2. 



» III. — Si P est premier, le nombre (2 r — 2) est divisible par P; mais 

 non pas par P 2 , ni P 3 . 



» IV. — Si deux nombres premiers P et P, sont donnés plus grands que 



(P + P, \ 

 J ne peut 



être une puissance exacte. 



