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 tical de la courbe et dont l'un, l'axe des x, est vertical et dirigé de haut 

 en bas. Prenant l'arc j pour variable indépendante, il aune première équa- 

 tion entre les dérivées premières de x et de j. Il en a une deuxième qui 

 est l'équation du mouvement sur la trajectoire, et qui, dans le cas le plus 

 général, contient s, x, )\ la vitesse v et leurs dérivées, ces dernières ne 

 pouvant dans aucun cas dépasser le second ordre. Ensuite, l'application 

 du calcul des variations lui donne trois autres équations entre ces diffé- 

 rentes variables et deux fonctions, X et /x, de s, inconnues mais détermi- 

 nées. Les cinq équations dont il vient d'être parlé étant supposées établies, 

 il suffit d'éliminer entre elles s, v, X et [i. pour obtenir l'équation en x 

 et j" de la brachistochrone. 



» Nous dirons tout de suite que cette élimination présentait des diffi- 

 cultés sérieuses, et que M. Haton, en en triomphant, a fait preuve d'une 

 grande habileté. Principalement dans ce but, il a introduit comme variables 

 auxiliaires le rayon de courbure et l'angle de contingence compté avec la 

 verticale, et il a établi un certain nombre de relations simples entre ces 

 deux nouvelles variables et les dérivées de x et de j". 



)) Ces préliminaires établis, l'auteur traite d'abord le cas où le point 

 matériel est soumis, en outre de la pesanteur, au frottementde glissement, 

 et il applique la méthode générale précédemment indiquée. C'est surtout 

 dans ce cas que l'élimination présente de grandes difficultés. M. Haton 

 réussit à les lever, et il obtient l'équation de la brachistochrone, sous 

 forme d'une relation entre le rayon de courbure et l'angle de contingence 

 mesuré à partir de la verticale. Dans le cas particulier où le frottement 

 est nul, la courbe devient, ainsi que cela devait être, une cycloïde. 



» L'auteur met ensuite 1 équation de la brachistochrone sous la forme 



suivante : 



sin ! 9 — v.y sin — ^'' sin ' S -f- 6! 

 ^ "" sin' (9 — yl sin^ ( 6 -H y) 



c et a sont deux arbitraires, cette dernière étant l'angle que fait avec la 

 verticale une droite choisie à volonté, et à partir de laquelle est mesuré 

 l'angle de contingence^; é et 'j sont deux constantes qui sont reliées par 

 deux relations simples à a et à l'angle du frottement. 



» Cette formule montre que la courbe peut avoir trois points de rebrous- 

 sement correspondant à 



6' = «, 5" r= g et ù'" = - g. 



c. R.,1877, 1" Semeitre. ( T. LXXXIV, N» 2.) '^ 



