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L'angle 5' = a correspond à un point de rebroussement où la tangente est 

 verticale. Il existe toujours, et M. Haton démontre qu'il doit former le 

 point de départ du mobile, quand celui-ci s'ébranle sans vitesse initiale. 

 Quant aux autres points singuliers, ils peuvent ne pas exister : c'est ce qui 

 a lieu quand les angles g et y sont imaginaires. Les formules montrent que 

 cette circonstance a lieu quand le frottement est assez petit, et en particu- 

 lier, quand il est nul, on retombe sur la cycloïde qui n'a que le rebrous- 

 sement vertical. 



» M. Haton montre enfin comment la détermination de l'équation de la 

 brachistochrone en a; et / se déduit de ce qui précède au moyen de qua- 

 dratures. 



» L'auteur traite ensuite le cas où la résistance passive est celle d'un 

 milieu, qu'il suppose d'abord une fonction quelconque de la vitesse. Cette 

 question est plus simple que la précédente, parce qu'on n'a pas à consi- 

 dérer les dérivées secondes de x et de^. 



» En appliquant la méthode générale, on obtient les deux équations 

 suivantes : 



— ?- = ^ + (A-Bcoto)) - 



et 



-; — ^ - — (A — Bcotco) -; 

 sinw f ^ 'g 



p est le rayon de courbure; w, l'angle de contingence avec la verticale; 

 V, la vitesse; V, la fonction de i> qui représente la résistance; enfin A et B 

 sont deux constantes. En supposant V donné, l'élimination de v entre les 

 deux équations ci-dessus donne l'équation de la brachistochrone. Dans le 

 cas où la fonction V est nulle, on retombe sur la cycloïde. 

 » M. Haton a supposé ensuite 



V - Kv'"', 



K. élant une constante et m un exposant quelconque, entier ou fraction- 

 naire. 



» Les deux équations précédentes deviennent alors 



(A- Bcotco)Rt^'"+' — p'^.^ = o 



et 



(A -~ Bcoto^Kt^'"*' -f- -^ y _ ^ ^ o, 



