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» Cela posé, les m — i périodes cycliques déterminant /// — i paramètres, 

 il n'en reste de libres que 



m' -h 3 m — H /n' -\- m — 6 



m 4- I = > 



a 2 



et, par suite, les (m — i){m — 2) périodes. ultracycliques doivenl ?alis- 

 faire à 



, ., , m' -{-III — 6 m' — nm-\-to 



(m _ i)(m - 2) - . ^^ =. '-^ 



conditions. 



» Pour m =z 2, ce nombre se réduit à zéro; mais il n'y a pas de période 

 ultracyclique. Du reste la période cyclique définit la courbe rapportée soit 

 à ses asymptotes, soit à ses deux diamètres conjugués égaux, si l'on ne 

 tient pas compte de l'angle de ces axes. Pour m= 3, la formule donne 

 — I, c'est-à-dire que les deux périodes cycliques et les deux périodes 

 elliptiques ne définissent pas la courbe, en supposant même donné l'angle 

 (les axes particuliers auxquels la courbe serait rapportée. Pour m = 4> o" 

 trouve encore — 1; ainsi les trois périodes cycliques et les six périodes 

 ultracycliques ne déterminent pas encore la courbe. Pour m ~ f), on trouve 

 zéro, c'est-à-dire que les quatre périodes cycliques et les douze périodes 

 ullracycliques de la quadrafrice d'une courbe du cinquième degré déter- 

 minent cette courbe. Mais, pour m ~ G, on trouve 2; les vingt périodes 

 ullracycliques de la quadratrice d'une courbe du sixième degré satisfont 

 donc au moins à deux conditions; on n'en peut prendre que dix-liuit 

 arbitrairement. Pour ;n = 7, la formule donne 5, etc. 



» Ce que l'on vient de dire des périodes de la quadratrice se répéterait 

 naturellement des périodes de la rectificatrice, avec celle différence toute- 

 fois que l'angle des axes ne serait plus un élément indifférent à considérer. 

 C'est ainsi que les quadratrices de l'ellipse et de l'hyperbole ne pouvaient 

 avoir qu'une période, tandis que leurs reclificatrices devaient en avoir 

 deux. 



» Si, au lieu de la courbe la plus générale de degré /h, on considère 

 une courbe particulière, les périodes de la quadratrice ou de la rectifica- 

 trice satisferont naluiellement à des conditions plus nombreuses. 



» C'est ainsi, par exemple, que la rectificatrice de l'hyperbole équilalère 

 ne devait avoir qu'une période indépendante; et, en effet, j'ai démontré 

 {Journal (le iM. Liouvillc) que les périodes de la rectificatrice de l'hyperbole 

 sont, la première, la différence entre la longueur totale de cette hyperbole 

 et la longueur totale de ses asymptotes, et, la seconde, le produit par y — » 



C. R.,1877, i" Semriirr. (T. LXXXIV, Noô.) ' (^ 



