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GÉOMÉTRIE. — Sur les normales que l'on peut mener d un point donné 

 à une conique; par M. Lagcerre. 



« 1. Je m'appuierai sur les deux propositions suivantes : 



» Théorème [. — 5' Ion considère trois des normales que l'on peut mener 

 d'un point M à une conique. In droite qui joint le point M au centre du cercle 

 circonscrit aux trois pieds de ces normales a pour conjuguée harmonique, relati- 

 vement à ces trois normales, la quatrième normale, (jue l'on peut mener du 

 point M à la courbe. 



» Théorème II. — Si l'on désigne par a, b, c, d les pieds des normales que 

 l'on peut mener d'un point M à une conique, et par A, B, C, D les centres des 

 cercles circonscrits aux triangles bcd, cda, dab et abc, les droites menées res- 

 pectivement par ces points parallèlement aux normales Ma, Mb, Me et Md 

 se coupent en un même point [x. 



» Ce point est situé sur la droite qui joint le point M au centre de la conique, 

 fit l'autre côté de ce centre cl à une distance moitié moindre. 



» En conservant les notations précédentes, on déduit du théorème T 

 que la droite MA est l'une des deux droites qui constituent la polaire co- 

 nique de Ma relativement aux droites Mb, Me et M^. 



» Déterminons les directions des quatre normales par des paramètres 

 qui soient les racines de l'équation du quatrième degré 



Ll = ax^ + [\bx^j -i- ijcx'-}- -H l^dxj"^ -\- e} *; 



eu désignant par H et S le hessien et l'invariant quadratique de U, on ob- 

 tiendra la proposition suivante : 



» Les directions des quatre droites MA, MB, MC, MD sont déterminées par 

 les racines de l'une des équations ^uivnnles : 



H-^y/|L = o c. n-y/^i 



» 2. Théorème III. — Si l'on mène par le point M deux parallèles aux axes 

 de 1(1 conique et si l'on joint ce point au centre de celle conique, les trois droites 

 ainsi obtenues jouissent de la propriété suiimnte : La conjuguée harmonique de 

 l'une quelconque d'enlre elles, relativement aux deux autres, se confond avec la 

 conjuguée harmonique de la même droite relativement au faisceau des normales 

 passant par le point M. 



