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« Analytiqiiement, si - est le paramètre définissant une quelconque des 



directions dont je viens de parler, les directions des deux autres sont dé- 

 terminées par les racines de l'équation 



iH-(rt.*'- + 2hx) + CJ-) + 2?-/3( bx'- -\- 2CX/ + d/') 

 /s 

 + ■f}-[cx'^-\- -idxy + ej^) ± y -^{x-fi — J'iY = o, 



le radical étant pris avec un signe convenable. 



» 3. Étant données quatre droites passant par un même point M, on 

 peut se proposer de déterminer les coniques qui coupent orthogonalement 

 ces quatre droites. Laissant de côté les cercles ayant pour centre le 

 point M, on voit qu'il y a encore une infinité de solutions; le problème 

 sera complètement déterminé, si l'on assujettit les coniques à passer par un 

 point donné sur l'une des droites ou à toute autre condition analogue. 



» On trouve alors quatre solutions, et le problème peut se résoudre au 

 moyen de la règle et du compas. 



)) Si l'on veut, en effet, chercher le lieu des centres des coniques satis- 

 faisant à la question, on voit qu'il se compose de droites dont les direc- 

 tions sont déterminées par les valeurs de -» pour lesquelles les racines de 



l'équation (i) en (£, 19) correspondent à deux directions rectangulaires. Si 

 l'on représente par ax^ -\- 2^xf -+- 77- = o l'équation correspondant aux 

 directions parallèles aux asymptotes du cercle, les directions des droites, 

 qui joignent M aux centres des coniques satisfaisant à la question, corres- 

 pondront aux racines de l'équation 



[(^7 — 2b[i + ca)x^-h ^.{b-j— 2v[-:, -h (h.)xr + [cy — idfi-^e(/.)j'Y 



g 

 — :^{ax'^ + 2fixr -+- '/}'')-= o, 



équation du quatrième degré, résoluble par l'extraction de simples racines 

 carrées. 



» 4. Géométriquement, le problème proposé peut se résoudre de la 

 façon suivante : Menons un cercle quelconque passant par M et coupant 

 les normales données eu a, b, c, d; appelons A, B, G, D les tangentes me- 

 nées au cercle par ces points. On peut construire deux coniques tangentes 

 à ces quatre droites, et telles qu'on puisse circonscrire à chacune d'elles un 

 triangle ayant ses sommets sur la conique donnée. Soit K l'une de ces 

 coniques; on la déterminera de la façon suivante : Construisons les deux 



