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le foyer de la parabole est le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur 

 la faiigciite au point n' ; sa directrice est la symétrique de cette perpendi- 

 culaire relalivcment à l'un quelconque des axes. Il en résulte que les 

 cercles circonscrits aux divers triangles dont j'ai parlé plus haut passent 

 tous non-seulement par le point /j', comme on le sait par un théorème de 

 Joachiuisthal, mais encore par un autre point fixe situé sur la tangente en n'. 



» Cela posé, la normale N, qui est tangente à la développée de l'ellipse, 

 renconlre do nouveau cette courbe en quatre autres points a, ,';, y et o*. 

 Considérons, par exemple, le point «, et appelons a le point de l'ellipse 

 dont le centre de courbure est en a; deux des normales menées du point a 

 à E ont leurs pieds confondus en a; par suite, la tangente en a à l'ellipse 

 est tangente à la parabole P, et, comme la même chose a lieu pour les 

 points (3, y et o^, il résulte du lemme énoncé plus haut que les normales 

 doubles abaissées des |)oints a, /5, y et c? concourent eu un même point. 



" En d'autres termes : 



B THÉOKÈ.ME 1. — .Si l'on considère une tangente quelconque à la développée 

 d'une ellipse et tes quatre points où cette tangente coupe de nouveau la courbe, 

 les tangentes menées en ces points concourent en un même point p, 



n 3. On peut encore dire que la polaire de chacune des tangentes à la 

 développée se décompose en une conique et un point p. 



» En général, étant donnée une courbe quelconque de quatrième classe, 

 si l'on représente par U = o l'équation du quatrième degré qui détermine 

 les directions des tangentes issues du |)oint (x,/, z), et par S et T l'inva- 

 riant quadratique et l'invariant cubique de U, j'ai montré [Sur les singula- 

 rités des courlics de quatrième classe [Journal de Mathématiques, 'à" série, t. I, 

 p. 205)] que les points singuliers de la courbe et les points qui, associés à 

 des coniques, constituent les polaires de droites du plan, satisfaisaient aux 

 trois conditions 



2S- S1. — — 0, aS- il - =-- o, aS- 3T — = o. 



dx dx dy dy ' dz dz 



En général, le nombre des points satisfaisant à ces trois relations est limité 

 et égal à 7^ ; dans le cas de la développée de l'ellipse, comme l'a remarqué 

 M. Clebsch ('), S est un carré parlait, et l'on peut poser S = Ir , h étant 

 l'équation d'une conique ayant pour sommets les points de rebroussemenl 



C; Pniblcm dcr Normalcn fiir Curvcn itrid Fl<ichen Z'vciler Ordnuiig, Crulle, I. I.XII, 

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