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de la développée; on a aussi T — h^ -i- w^, ïv = o étant l'équation des trois 

 tangentes doubles de la courbe. Les relations précédentes deviennent 

 alors 



et l'on voit qu'elles sont satisfaites pour tous les points des deux courbes 

 w = o et /z =: o. La première équation donne les trois tangentes doubles 

 qui correspondent à l'infinité de points singuliers que possède la déve- 

 loppée considérée comme courbe de quatrième classe et du douzième ordre; 

 la seconde donne le lieu des points p que j'ai considérés dans le théo- 

 rème L 



» On peut donc énoncer la proposition suivante : 



M Théorème IL — Le lieu des points p est la conique ajaul pour sommets 

 les points de rebroussement de la développée. 



« 4. Le théorème I résulte aussi immédiatement de ce que S est un 

 carré parfait. J'ai démontré, en effet [/Wemoi're sur l' application de la théorie 

 des formes binaires à la Géométrie analytique [Journal de Mathématiques, t. I, 

 3* série, p. lo/î)], la proposition suivante : 



)) Etant donnée une courbe de quatrième classe K, ime quelconque de ses tan- 

 gentes est coupée par sa polaire en six points dont deux sont confondus au point 

 de contact, les quatre autres points d'intersection décrivant, lorsque la tangente 

 se déplace, la courbe du quatrième orrlre dont Inéquation est S = o. 



» Si S est un carré parfait, les six points d'intersection de la droite avec 

 sa polaire sont confondus deux à deux en trois points, d'où résulte la dé- 

 composition de cette polaire en une conique et un point p, et l'on peut 

 remarquer que les tangentes menées du point /^ à cette conique rencon- 

 trent la tangente à la courbe de quatrième classe en deux points situés sur 

 le lieu des points p. 



» D'autres conséquences intéressantes relativement à la développée de 

 l'ellipse se déduiraient facilement de plusieurs propositions générales sur 

 les courbes de quatrième classe que j'ai données dans les Mémoires cités 

 plus haut. » 



