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ANALYSE. — Sur les deux thcorètnes de M, Clebsch relatifs aux courbes 

 quarrables par les fonctious elli/jliques ou par les fonctions circulaires. Noie 

 de M. Max. Makie. 



« M. Clebsch a tlémontré : i° que les coordonnées x e\ y d'une courbe 

 (le degré m qui a --— '- points doubles peuvent s'exprimer rationnelle- 

 ment en fonction d'une nouvelle variable z et de la racine carrée d'un 

 polynôme du quatrième degré en r; 3" que les coordonnées x et y d'une 



courbe de degré m qui a pouits doubles peuvent s exprimer 



rationnellement en fonction d'une nouvelle variable z et de la racine carrée 

 d'un polynôme du deuxième degré en r. 11 en résulte immédiatement que 



la quadrature d'une courbe de degré m qui a points doubles dé- 

 pend des fonctions elliptiques au plus, et que la quadrature d'une courbe 

 de degré m qui a ' |)oints doubles dépend des fonctions cir- 

 culaires au plus. 



» Mais il existe une infinité de courbes quarrables par les fonctions el- 

 liptiques qui ne présentent pas le nombre maximum moins i de points 

 doubles : telle est, par exemple, la courbe ^* + or* = rt% qui n'a aucun 

 point double et dont la quadrature se ramène cependant à 



si l'on pose n- -i- x- = z* («- — .r^). 



» Il existe de même une infinité de courbes quarrables par les fonctions 

 circulaires qui ne présentent pas le nombre maximum de points doubles: 

 telle est la courbe ) '(a* — x\ -= a", qui ne présente que 12 points doubles 

 au lieu de 21, et dont la quadrature se ramène cependant à 



/; 



n>:>z 



" 

 SI Ion pose xjr —■ z. 



M Quelle portée fallait-il donc attribuer aux deux beaux tliéorèmes de 

 M. Clebsch? 



M J'ai démontré, dans mon Mémoire intitulé Classification des intégrales 

 quadrittrices des courbes algébriques, que rinlroduclion d'un nouveau point 



C. R., 1877, I" Stmeitrt. (T. LXXXIV, ït» H.) 3o 



